Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 1 Chapter 3 रैखिक नियत-सम्बन्ध Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 1 Chapter 3 रैखिक नियत-सम्बन्ध Ex 3.1

प्रश्न 1.
एक वस्तु का मूल्य (रु. में) और उसकी माँग (सो इकाई में) के लिए निम्न सूचना पर से माँग की मूल्य पर का नियतसम्बन्ध रेखा प्राप्त करो और जब मूल्य (रु.) 20 हो तब मांग का अनुमान कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 6, (bar{x}=frac{sum x}{n}=frac{96}{6}) = 16, (overline{mathrm{y}}=frac{sum y}{mathrm{n}}=frac{60}{6}) = 10
(overline{mathrm{x}}) और (overline{mathrm{y}}) पूर्णांक है । इसलिए निम्नानुसार सारणी बनायेंगे ।

b = (frac{sum(mathrm{x}-overline{mathrm{x}})(mathrm{y}-overline{mathrm{y}})}{sum(mathrm{x}-overline{mathrm{x}})^2})
= (frac{-67}{50})
∴ b = -1.34
अब (overline{mathrm{x}}), (overline{mathrm{y}}) और b का मान a के सूत्र में रखने पर
a = (overline{mathrm{y}}) – b(overline{mathrm{x}})
a = 10 – (-1.34) (16)
= 10 – (-21.44)
= 10 + 21.44
∴ a = 31.44

अत: y का x के प्रति श्रेष्ठ अन्वायोजित नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
∴ ŷ = 31.44 – 1.34x
अब x = 20 रखने पर
ŷ = 31.44 – 1.34(20)
ŷ = 31.44 – 26.8
∴ ŷ = 4.64
जब मूल्य 20 (रु.) हो तब वस्तु की माँग 4.64 (सौ इकाई) होगा ।

प्रश्न 2.
कार बनानेवाली कंपनी कार के एक मोडल के लिए कार का उपयोग का समय और कार का औसत वार्षिक मरम्मत खर्च के बीच संबंध का अभ्यास करने के लिए निम्नानुसार सूचना प्राप्त हुई है ।

उपयुक्त सूचना पर से y की x पर की नियतसंबंध रेखा का समी. प्राप्त कीजिए । जब कार का उपयोग समय 5 वर्ष हो, तो वार्षिक मरम्मत खर्च का अनुमान कीजिए और त्रुटि ज्ञात करो ।
उत्तर :
यहाँ n = 6, (bar{x}=frac{sum x}{n}=frac{16}{6}) = 2.67, (bar{y}=frac{sum y}{n}=frac{51}{6}) = 8.5
प्राप्तांक छोटे है । इसलिए निम्नानुसार सारणी बनायेंगे ।

b = (frac{n sum x y-left(sum xright)left(sum yright)}{n sum x^2-left(sum xright)^2})
= (frac{6 times 154-(16)(51)}{6 times 52-(16)^2})
= (frac{924-816}{312-256})
= (frac{108}{56})
= 1.929
∴ b = 1.93
अब (overline{mathrm{x}}), (overline{mathrm{y}}) और b का मान a के सूत्र में रखने पर
a = (overline{mathrm{y}}) – b(overline{mathrm{x}})
= 8.5 – 1.93 (2.67)
= 8.5 – 5.15
= 3.35 अत: y का x के प्रति श्रेष्ठ अन्वायोजित नियतसंबंध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 3.35 + 1.93x
∴ ŷ = 3.35 + 1.93x
अब x = 5 रख्नने पर
ŷ = 3.35 + 1.93(5)
= 3.35 + 9.65
∴ ŷ = 13 (हजार रु.) अथवा ŷ = 13000 रु.
जब कार उपयोग का समय 5 वर्ष का हो तब वार्षिक मरम्मत खर्च 13000 रु. होगा ।
अब दी गई सूचना पर से x = 5 के अनुरूप y का अवलोकित मान 13 है ।
∴ y = 13
∴ त्रुटि e = y – ŷ
= 13 – 13
= 0
∴ e = 0 3.

प्रश्न 3.
किसी एक वर्ष में पाँच जिल्ले में हुई औसत वर्षा (सेमी में) और फसल का उत्पादन (टन में) निम्नानुसार है ।

इस सूचना से फसल के उत्पादन का वर्षा पर का नियतसंबंध रेखा ज्ञात कीजिए और यदि औसत वर्षा 35 सेमी हो, तो फसल का उत्पादन का अनुमान कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 5 y = फसल का उत्पादन (टन में)
x = औसत वर्षा (सेमी में)
= (bar{x}=frac{sum x}{n}=frac{155}{5}) = 31, y = (bar{y}=frac{Sigma y}{n}=frac{450}{5}) = 90
यहाँ (overline{mathrm{x}}) और (overline{mathrm{y}}) पूर्णांक में है । इसलिए निम्नानुसार सारणी बनायेंगे ।

b = (frac{sum(x-bar{x})(y-bar{y})}{sum(x-bar{x})^2})
= (frac{75}{90})
= 0.83
∴ b = 0.83
अब (overline{mathrm{x}}), (overline{mathrm{y}}) और b का मान a के सूत्र में रखने पर
a = (overline{mathrm{y}}) – b(overline{mathrm{x}})
= 90 – 0.83 (31)
= 90 – 25.73
= 64.27
∴ a = 64.27
अत: y का x के प्रति नियतसंबंध रेखा
ŷ = a + bx
= 64.27 + 0.83x
∴ ŷ = 64.27 + 0.83x
अब x = 35 रखने पर
ŷ = 64.27 + 0.83 (35)
= 64.27 + 29.05
∴ ŷ = 93.32 (टन)
यदि औसत वर्ष 35 सेमी हो तब फसल का उत्पादन 93.32 (टन) होने का अनुमान है ।

प्रश्न 4.
यंत्र पर कार्य करते कारीगरों का अनुभव और उसके कार्य-कौशल्य अंक (Performance ratings) के बारे में सूचना निम्नानुसार है ।

उस पर से कार्य-कौशल्य आंक का अनुभव पर का नियतसंबंध रेखा की गणना कीजिए और किसी एक कारीगर का अनुभव 7 वर्ष हो, तो कार्य-कौशल्य आंक का अनुमान कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, (bar{x}=frac{sum x}{n}), (bar{x}=frac{80}{8}) = 10, (bar{y}=frac{sum y}{n}=frac{648}{8}) = 81
यहाँ (overline{mathrm{x}}) और (overline{mathrm{y}}) पूर्णांक में मिला है ।

b = (frac{sum(mathrm{x}-overline{mathrm{x}})(mathrm{y}-overline{mathrm{y}})}{sum(mathrm{x}-overline{mathrm{x}})^2})
= (frac{247}{218})
= 1.13
∴ b = 1.13
अब (overline{mathrm{x}}), (overline{mathrm{y}}) और b के मान a के सूत्र में रखने पर
a = (overline{mathrm{y}}) – b(overline{mathrm{x}})
= 81 – 1.13 (10)
= 81 – 11.3
= 69.7
∴ a = 69.7
अतः y का x के प्रति नियत संबंध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 69.7 + 1.13x
∴ ŷ = 69.7 + 1.13x
अब x = 7 रखने पर
ŷ = 69.7 + 1.13(7)
= 69.7 + 7.91
ŷ = 77.61
∴ ŷ = 77.61
कारीगर का अनुभव 7 वर्ष का हो, तो कार्य-कौशल्य आंक 77.61 होने का अनुमान है ।