Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2
Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2
1. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યાનું ઘનમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધોઃ
પ્રશ્ન (i).
64
ઉત્તરઃ
64
(begin{array}{l|l}
2 & 64 \
hline 2 & 32 \
hline 2 & 16 \
hline 2 & 8 \
hline 2 & 4 \
hline 2 & 2 \
hline & 1
end{array})
64ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
∴ (sqrt[3]{64}) = 2 × 2
= 4
આમ, 64નું ઘનમૂળ 4 છે.
પ્રશ્ન (ii).
512
ઉત્તરઃ
512
(begin{array}{l|l}
2 & 512 \
hline 2 & 256 \
hline 2 & 128 \
hline 2 & 64 \
hline 2 & 32 \
hline 2 & 16 \
hline 2 & 8 \
hline 2 & 4 \
hline 2 & 2 \
hline & 1
end{array})
512ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
∴ (sqrt[3]{512}) = 2 × 2 × 2
= 8
આમ, 512નું ઘનમૂળ 8 છે.
![]()
પ્રશ્ન (iii).
10648
ઉત્તરઃ
10648
(begin{array}{r|l}
2 & 10648 \
hline 2 & 5324 \
hline 2 & 2662 \
hline 11 & 1331 \
hline 11 & 121 \
hline 11 & 11 \
hline & 1
end{array})
10648ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
∴ (sqrt[3]{10648}) = 2 × 11
= 22
આમ, 10648નું ઘનમૂળ 22 છે.
પ્રશ્ન (iv).
27000
ઉત્તરઃ
27000
(begin{array}{l|l}
2 & 27000 \
hline 2 & 13500 \
hline 2 & 6750 \
hline 3 & 3375 \
hline 3 & 1125 \
hline 3 & 375 \
hline 5 & 125 \
hline 5 & 25 \
hline 5 & 5 \
hline & 1
end{array})
27000ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
27000 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
∴ (sqrt[3]{27000}) = 2 × 3 × 5 = 30
આમ, 27000નું ઘનમૂળ 30 છે.
પ્રશ્ન (v).
15625
ઉત્તરઃ
15625
(begin{array}{l|l}
5 & 15625 \
hline 5 & 3125 \
hline 5 & 625 \
hline 5 & 125 \
hline 5 & 25 \
hline 5 & 5 \
hline & 1
end{array})
15625ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
15625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
∴ (sqrt[3]{27000}) = 5 × 5 = 25
આમ, 15625નું ઘનમૂળ 25 છે.
![]()
પ્રશ્ન (vi).
13824
ઉત્તરઃ
13824
(begin{array}{l|l}
2 & 13824 \
hline 2 & 6912 \
hline 2 & 3456 \
hline 2 & 1728 \
hline 2 & 864 \
hline 2 & 432 \
hline 2 & 216 \
hline 2 & 108 \
hline 2 & 54 \
hline 3 & 27 \
hline 3 & 9 \
hline 3 & 3 \
hline & 1
end{array})
13824ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
∴ (sqrt[3]{13824}) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
આમ, 13824નું ઘનમૂળ 24 છે.
પ્રશ્ન (vii).
110592
ઉત્તરઃ
110592
(begin{array}{l|l}
2 & 110592 \
hline 2 & 55296 \
hline 2 & 27648 \
hline 2 & 13824 \
hline 2 & 6912 \
hline 2 & 3456 \
hline 2 & 1728 \
hline 2 & 864 \
hline 2 & 432 \
hline 2 & 216 \
hline 2 & 108 \
hline 2 & 54 \
hline 3 & 27 \
hline 3 & 9 \
hline 3 & 3 \
hline & 1
end{array})
110592ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
∴ (sqrt[3]{110592}) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
આમ, 110592નું ઘનમૂળ 48 છે.
પ્રશ્ન (viii).
46656
ઉત્તરઃ
46656
(begin{array}{l|l}
2 & 46656 \
hline 2 & 23328 \
hline 2 & 11664 \
hline 2 & 5832 \
hline 2 & 2916 \
hline 2 & 1458 \
hline 3 & 729 \
hline 3 & 243 \
hline 3 & 81 \
hline 3 & 27 \
hline 3 & 9 \
hline 3 & 3 \
hline & 1
end{array})
46656ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
∴ (sqrt[3]{46656}) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
આમ, 46656નું ઘનમૂળ 36 છે.
![]()
પ્રશ્ન (ix).
175616
ઉત્તરઃ
175616
(begin{array}{l|l}
2 & 175616 \
hline 2 & 87808 \
hline 2 & 43904 \
hline 2 & 21952 \
hline 2 & 10976 \
hline 2 & 5488 \
hline 2 & 2744 \
hline 2 & 1372 \
hline 2 & 686 \
hline 7 & 343 \
hline 7 & 49 \
hline 7 & 7 \
hline & 1
end{array})
175616ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7
∴ (sqrt[3]{175616}) = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
આમ, 175616નું ઘનમૂળ 56 છે.
પ્રશ્ન (x).
91125
ઉત્તરઃ
91125
(begin{array}{l|l}
3 & 91125 \
hline 3 & 30375 \
hline 3 & 10125 \
hline 3 & 3375 \
hline 3 & 1125 \
hline 3 & 375 \
hline 5 & 125 \
hline 5 & 25 \
hline 5 & 5 \
hline & 1
end{array})
91125ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
91125 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
∴ (sqrt[3]{91125}) = 3 × 3 × 5 = 45
આમ, 91125નું ઘનમૂળ 45 છે.
![]()
2. નીચેનું વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે કહોઃ
પ્રશ્ન (i).
કોઈ પણ એકી સંખ્યાનો ઘન બેકી સંખ્યા હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, કારણ કે એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી સંખ્યા જ હોય.
પ્રશ્ન (ii).
પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતિમ બે અંકો શૂન્ય ન હોય.
ઉત્તરઃ
ખરું, કારણ કે જેના અંતિમ અંકો શૂન્ય હોય તેવી પૂર્ણઘન સંખ્યાને હંમેશાં ત્રણ કે ત્રણના ગુણકમાં શૂન્યો હોય.
પ્રશ્ન (iii).
જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરતાં એકમનો અંક 5 આવે, તો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક 25 આવે.
ઉત્તરઃ
ખોટું, આવું હંમેશાં ન હોય.
જુઓ 152 = 225 અને 153 = 3375
પ્રશ્ન (iv).
એવી કોઈ પૂર્ણઘન સંખ્યા ના મળે કે જેનો એકમનો અંક 8 હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 8 = 23, 1728 = 123
![]()
પ્રશ્ન (v).
બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની પણ હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 103 = 1000; ઘન ચાર અંકોની સંખ્યા જ હોય.
પ્રશ્ન (vi).
બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં સાત કે તેથી વધુ અંકોની સંખ્યા પણ મળે.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 993 = 970299; છ અંકોની સંખ્યા જ હોય.
પ્રશ્ન (vii).
એક અંકની સંખ્યાનો ઘન કરવાથી એક અંકની સંખ્યા પણ મળે.
ઉત્તરઃ
ખરું, જુઓ 13 = 1 તથા 23 = 8
![]()
3. જો તમને એમ કહેવામાં આવે કે 1331 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. શું તમે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની પ્રક્રિયા વિના જ તેનું ઘનમૂળ શોધી શકો? તેવી જ રીતે 4913; 12187; 32768ના ઘનમૂળનું અનુમાન કરો.
ઉત્તરઃ
1331 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
1331 → 1 અને 331
પહેલો વિભાગ 331ના એકમનો અંક 1 છે.
∴ 133ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 1 હોય. (∵ 13 = 1 અને (sqrt[3]{1}) = 1)
હવે બીજો વિભાગ 1 છે.
∴ 1નું ઘનમૂળ 1 છે.
આમ, 1331નું ઘનમૂળ 11 છે. (∵ (sqrt[3]{1331}) = 11)
(i) 4913 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
4913 → 4 અને 913
પહેલો વિભાગ 913ના એકમનો અંક 3 છે.
∴ 4913ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 7 હોય.
(∵ 73 = 343 અને (sqrt[3]{343}) = 7)
હવે બીજો વિભાગ 4 છે.
13 = 1 અને 23 = 8 અહીં, 1 < 4 < 8
∴ 13 < 4 < 23
∴ 4913ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 1 છે.
આમ, 4913નું ઘનમૂળ 17 છે. (∵ (sqrt[3]{4913}) = 17)
(ii) 12167
12167ને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
12167 → 12 અને 167
પહેલો વિભાગ 167ના એકમનો અંક 7 છે.
∴ 12167ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 3 હોય. (∵ 33 = 27)
હવે બીજો વિભાગ 12 છે.
23 = 8 અને 33 = 27
8 < 12 < 27
એટલે કે 23 < 12 < 33
∴ 12167ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 2 હોય.
આમ, 12167નું ઘનમૂળ 23 છે. (∵ (sqrt[3]{12167}) = 23)
(iii) 32768 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
32768 → 32 અને 768
પહેલો વિભાગ 768ના એકમનો અંક 8 છે.
∴ 32768ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 2 હોય.
(∵ 23 = 8 અને (sqrt[3]{8}) = 2)
હવે બીજો વિભાગ 32 છે.
33 = 27 અને 43 = 64
અહીં, 27 < 32 < 64
∴ 33 < 32 < 43
∴ 32768ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 3 હોય.
આમ, 32768નું ઘનમૂળ 32 છે. (∵ (sqrt[3]{32768}) = 32)