Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.1

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ સમીકરણો દ્વિઘાત સમીકરણો છે કે કેમ તે ચકાસોઃ
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – ax = (- 2) (37)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
(viii) x³ – 4x² + 1 = (x – 2)³

ઉત્તરઃ
(i) અહીં, ડા.બા. = (x + 1)² = x² + 2x + 1 અને
જ.બા. = 2 (x-3) = 2x – 6.
આથી (x + 1)² = 2 (x – 3)ને
x² + 2x + 1 = 2x – 6 તરીકે લખી શકાય.
∴ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
∴ x² + 7 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. (a = 1, b = 0, c = 7)
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(ii) અહીં, જ.બા. = (- 2) (3 – x) = – 6 + 2x.
આથી x² – 2x = (-2) (3 – x)ને
x² – 2x = – 6 + 2x તરીકે લખી શકાય.
∴ x² – 4x + 6 = 0.
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. (a = 1, b = – 4, c = 6)
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(iii) અહીં, ડા.બા.= (x – 2) (x + 1) = x² – x – 2 અને
જ.બા.= (x – 1) (x + 3) = x² + 2x – 3.
આથી (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)ને
x² – x – 2 = x² + 2x – 3 તરીકે લખી શકાય.
∴ – 3x + 1 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું નથી.
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(iv) અહીં, ડા.બા.= (x – 3) (2x + 1) = 2x² – 5x – 3 અને
જ.બા.= x (x + 5) = x² + 5x.
આથી (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)ને
2x² – 5x – 3 = x² + 5x તરીકે લખી શકાય.
∴ x² – 10x – 3 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. (a = 1, b = – 10, c = – 3)
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(v) અહીં, ડા.બા.= (2x – 1) (x – 3) = 2x² – 7x + 3 અને
જ.બા.= (x + 5) (x – 1) = x² + 4x – 5.
આથી આપેલ સમીકરણને
2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5 તરીકે લખી શકાય.
x² – 11x + 8 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. (a = 1, b =-11, c = 8)
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(vi) અહીં, જ.બા.= (x – 2)² = x² – 4x + 4
આથી આપેલ સમીકરણને
x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 તરીકે લખી શકાય.
∴ 7x – 3 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું નથી.
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(vii) અહીં, ડા.બા.= (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
અને જ.બા.= 2x (x² – 1) = 2x³ – 2x.
આથી આપેલ સમીકરણને
x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x તરીકે લખી શકાય.
∴ – x³ + 6x² + 10x + 8 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું નથી.
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(viii) અહીં, જ.બા.= (x – 2)³ – 6x² + 12x – 8.
આથી આપેલ સમીકરણને
x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8
તરીકે લખી શકાય.
∴ 2x² – 13x + 9 = 0
આ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. (a = 2, b = – 13, c = 9)
આમ, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ પરિસ્થિતિઓને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવોઃ

(i) જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મીટ છે. તેની લંબાઈ (મીટરમાં), પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે. આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, જમીનના લંબચોરસ ટુકડાની પહોળાઈ (મીટરમાં) x છે.
આથી તે ટુકડાની લંબાઈ (મીટરમાં) 2x + 1 થાય.
જમીનના લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ x પહોળાઈ
∴ 528 = (2x + 1) × x (∵ ક્ષેત્રફળ 528મી આપેલ છે.)
∴ 528 = 2x² + x
∴ 2x+x-528 = 0 એ આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત
સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવે છે. જેના ઉકેલ દ્વારા જમીનના ટુકડાની પહોળાઈ (મી) અને લંબાઈ (2x + 1 મી) શોધી શકાય.

(ii) બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર 306 છે. આપણે આ પૂર્ણાકો શોધવા છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકો x અને x + 1 છે. આથી તેમનો ગુણાકાર = x (x + 1) = x² + x થાય.
આ ગુણાકાર 306 આપેલ છે.
∴ x² + x = 306
∴ x² + x – 306 = 0 એ આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવે છે.
જેના ઉકેલ દ્વારા ક્રમિક ધન પૂણકો x અને x + 1 શોધી શકાય.

(iii) રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટા છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર (વર્ષમાં) 360 હશે. આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રોહનની હાલની ઉંમર (વર્ષમાં) x છે.
આથી તેની માતાની હાલની ઉંમર (વર્ષમાં) x + 26 થાય.
3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર (વર્ષમાં) x + 3 થશે
અને તેની માતાની ઉંમર (વર્ષમાં) x + 29 થશે.
તેઓની 3 વર્ષ પછીની ઉંમરનો (વર્ષમાંનો) ગુણાકાર 360 આપેલ છે.
આથી (x + 1) (x + 29) = 360
∴ x² + 12x + 87 – 360 = 0
∴ x² + 32x – 273 = 0 એ આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવે છે. જેના ઉકેલ દ્વારા રોહનની તથા તેની માતાની હાલની ઉંમર (વર્ષમાં) અનુક્રમે x અને x + 26 શોધી શકાય.

(iv) એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચળ ઝડપથી કાપે છે. જો ઝડપ કિમી/ કલાક ઓછી હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તે 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ટ્રેનની સામાન્ય અચળ ઝડપ ૪ કિમી/કલાક છે.

હવે,

∴ 480 કિમીનું અંતર કાપવા સામાન્ય અચળ ઝડપે લાગતો સમય = t₁ = (frac{480}{x}) કલાક.
જો ટ્રેનની ઝડપ 8 કિમી/ કલાક ઓછી હોય, તો નવી ઝડપ = (x – 8) કિમી/ કલાક
∴ 480 કિમીનું અંતર કાપવા નવી ઝડપે લાગતો સમય = t₂ = (frac{480}{x-8}) કલાક
હવે, નવી ઝડપે લાગતો સમય એ સામાન્ય ઝડપે લાગતાં સમય કરતાં 3 કલાક વધુ છે.
∴ t₂ = t₁ + 3
∴ (frac{480}{x-8}) = (frac{480}{x}) + 3
∴ 480x = 480 (x – 8) + 3x (x – 8) (x (1-8) વડે ગુણતાં)
∴ 480x = 480x – 3840 + 3x² – 24x
∴ 0 = 3x² – 24x – 3840
∴ x² – 8x – 1280 = 0 એ આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવે છે. જેના ઉકેલ દ્વારા ટ્રેનની સામાન્ય અચળ ઝડપ (x કિમી / કલાક) શોધી શકાય.