This GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 4 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણો covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણો Class 9 GSEB Notes

→ એકચલ સુરેખ સમીકરણ (Linear equation in one variable): જે સમીકરણમાં એક જ ચલ હોય અને ચલનો ઘાતાંક 1 હોય, તે સમીકરણને એકચલ સુરેખ સમીકરણ કહે છે.
એકચલ સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ ax + b = c (જ્યાં a, b, c અચળાંકો છે અને a ≠ 0) છે.
દા. ત., x + 5 = 10, x – 3 = 15, √3x – 7 = 0 એ એકચલ સુરેખ સમીકરણો છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ (Linear equation in two variables) : જે સમીકરણમાં બે ચલ હોય અને બંને ચલના ઘાતાંક 1 હોય અને gવાળું પદ ન હોય, તો તે સમીકરણને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ કહે છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ ax + by + c = 0 (a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. a તથા b એકસાથે શૂન્ય નથી એટલે કે a² + b² ≠ 0)) છે.
દા. ત., 2x + y = 5, 5x – 2y = 7, √5 x – (frac{3}{2})y = 7 એ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણો છે.

→ જ્યારે ax + by + c = 0 સ્વરૂપે દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનો ઉલ્લેખ આવે ત્યારે શરત a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને વ તથા કે એકસાથે શૂન્ય નથી તેમ સ્વીકારી લઈશું.

ઉદાહરણ : 1.
નીચેના દરેક સમીકરણને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને દરેકમાં a, B અને Cની કિંમતો જણાવોઃ
(1) 3x + 4y = 24
ઉત્તર:
સમીકરણ 3x + 4y = 24ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 3x + 4y -24 = 0 મુજબ દર્શાવાય. અહીં, a = 3, b = 4 અને c =-24 છે.

(2) 0.2x + 0.5 = 1.2
ઉત્તર:
સમીકરણ 0.2x + 0.5y = 1.2ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 0.2x + 0.5y – 1.2 = 0 મુજબ દર્શાવાય. અહીં, a = 0.2, b = 0.5 અને c =-1.2 છે.

(3) 2x = 3y
ઉત્તર:
સમીકરણ 2x = 3yને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 2x – 3y + 0 = 0 મુજબ દર્શાવાય. અહીં, a = 2, b = -3 અને c = 0 છે.

ઉદાહરણ : 2.
નીચેના દરેક સમીકરણને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ તરીકે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવોઃ
(1) 2x = 9
ઉત્તર:
સમીકરણ 2x = 9ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 2x + 0y – 9 = 0 તરીકે દર્શાવાય.

(2) 4x – 17 = 0
ઉત્તર:
સમીકરણ 4x – 17 = અને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 4x + 0y – 17 = 0 તરીકે દર્શાવાય.

(3) 5y = 3
ઉત્તર:
સમીકરણ 5y = 3ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 0x + 5y -3 = 0 તરીકે દર્શાવાય.

(4) 8y – 15 = 0
ઉત્તર:
સમીકરણ 8y – 15 = અને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં 0x + 8y – 15 = 0 તરીકે દર્શાવાય.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણમાં બે ચલ છે એટલે તેના ઉકેલનો અર્થ સમીકરણનું સમાધાન કરતી x તથા ઇનાં મૂલ્યોની જોડ. દા. ત., x + y = 10 દ્વિચલ સમીકરણ લઈએ જેમાં x = 6 અને y = 4 લઈએ, તો 6 + 4 = 10 આમ, x = 6 અને y = 4 એ સમીકરણ x + y = 10નો એક ઉકેલ છે અથવા ક્રમયુક્ત જોડ (6, 4) એ આ સમીકરણનો એક ઉકેલ છે. વળી, જુઓ કે ક્રમયુક્ત જોડ (5, 5), (8, 2), (1, 3), (12, -2), (15, 75) એ પણ આ સમીકરણના ઉકેલ છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ ax + by + c = 0ને તેના y-સ્વરૂપમાં ફેરવતાં ઉકેલ સહેલાઈથી મળે. ax + by + c = 0નું y-સ્વરૂપ y = (frac{-c-a x}{b}) છે. આમાં xનાં મૂલ્યો મૂકતાં પુનાં મૂલ્યો સહેલાઈથી મળી શકે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણને અનંત ઉકેલ હોય છે. જો દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ ax + by + c = 0નાં ફક્ત બે જ ઉકેલ શોધવા હોય, તો એક વખત x = 0 અને બીજી વખત y = 0 લેતાં મળતાં એકચલ સમીકરણો અનુક્રમે by + c = 0 અને ax + c = 0નાં ઉકેલ પરથી બે ઉકેલ સહેલાઈથી મળી જાય.

ઉદાહરણ: 1.
નીચે આપેલ પ્રત્યેક સમીકરણના ચાર ઉકેલ શોધોઃ
(1) 2x + 5y = 20
ઉત્તર:
2x + 5y = 20
∴ 5y = 20 – 2x
∴ y = (frac{20-2 x}{5})
x = 0 માટે, y = (frac{20-2(0)}{5}=frac{20}{5}) = 4
x = 5 માટે, y = (frac{20-2(5)}{5}=frac{10}{5}) = 2
x =-5 માટે, y = (frac{20-2(-5)}{5}=frac{30}{5}) = 6
x = 10 માટે, y = (frac{20-2(10)}{5}=frac{0}{5}) = 0
આમ, (4, 4), (5, 2), (–5, 6) અને (10, 0) એ આપેલ સમીકરણ 2x + 5y = 20ના અનંત ઉકેલ પૈકીના ચાર ઉકેલ છે.

(2) 4x – 3y = 24
ઉત્તર:
4x – 3y = 24
∴ 4x – 24 = 3y
∴ y = (frac{4 x-24}{3})
x = 0 માટે, y = (frac{4(0)-24}{3}=frac{-24}{3}) = -8
x = 3 માટે, y = (frac{4(3)-24}{3}=frac{-12}{3}) = -4
x = 6 માટે, y = (frac{4(6)-24}{3}=frac{0}{3}) = 0
x = 9 માટે, y = (frac{4(9)-24}{3}=frac{12}{3}) = 4
આમ, (0, – 8), (3, –4), (6, O) અને (9, 4) એ આપેલ સમીકરણ 4x – 3 = 24ના અનંત ઉકેલ પૈકીના ચાર ઉકેલ છે.

(3) 3x + 5y = 0
ઉત્તર:
3x + 5y = 0
∴ 5y = -3x
∴ y = (frac{-3 x}{5})
x = 0 માટે, y = (frac{-3(0)}{5}=frac{0}{5}) = 0
x = 5 માટે, y = (frac{-3(5)}{5}=frac{-15}{5}) = -3
x = -5 માટે, y = (frac{-3(-5)}{5}=frac{15}{5}) = 3
x = 10 માટે, y = (frac{-3(10)}{5}=frac{-30}{5}) = -6
આમ, 0, 0), (5, – 3), (–5, અને 10, – 6) એ આપેલ સમીકરણ 3x + 5y = 0 ના અનંત ઉકેલ પૈકીના ચાર ઉકેલ છે.

(4) 2x – 12 = 0
ઉત્તર:
2x – 12 = 0
∴ 2x = 12
∴ x = 6 આપેલ સમીકરણમાં જુનો સહગુણક ) હોવાથી, પુની કોઈ પણ કિંમત લેતાં ની કિંમત 6 જ મળે. આથી (6, 6), (6, 1), (6, 2) અને (6, 3) એ આપેલ સમીકરણ 2x – 12 = 0ના અનંત ઉકેલ પૈકીના ચાર
ઉકેલ છે.

નોંધ: ઉપરોક્ત દરેક સમીકરણના પ્રત્યેક ઉકેલમાં X અને પુ બંને પૂર્ણાક મળે તે રીતે x ની પસંદગી કરેલ છે. આવા બિંદુનું આલેખમાં સહેલાઈથી નિરૂપણ થઈ શકે તે માટે ફક્ત પહેલા ની પસંદગી એવી રીતે કરવી જોઈએ જેથી g ની કિંમત પૂર્ણક મળે. ત્યારબાદ પુ-સ્વરૂપમાં જમણી બાજુમાં રહેલ છેદની સંખ્યા જેટલો xમાં વધારો કે ઘટાડો કરવાથી ઇની કિંમત પૂર્ણાક મળે. આવાં બિંદુઓ કે જેના x-યામ અને y-યામ બંને પૂર્ણાક હોય તેને વાણિજ્ય ગણિતમાં “જાળ બિંદુ કહે છે. પરંતુ, x + y = 7.5 જેવા સમીકરણના ઉકેલ તરીકે “જાળ બિંદુ’ મળે તે અશક્ય છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ ax + by + c = 0ના ઉકેલ એ યામ-સમતલનાં બિંદુઓ છે. આ તમામ ઉકેલનું આલેખપત્ર પર નિરૂપણ કરવામાં આવે, તો આ બિંદુઓ સમરેખ મળે છે. તેને સીધી પટ્ટી વડે જોડીને આલેખ તૈયાર કરતાં રેખા મળે છે. આ રેખા એ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનો આલેખ છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણના ઉકેલ અનંત હોય છે. તેથી તમામ ઉકેલનું આલેખપત્ર પર નિરૂપણ કરવું શક્ય નથી. વળી, દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનો આલેખ હંમેશાં રેખા જ હોય છે. તેથી ઉકેલની બે ભિન્ન ક્રમયુક્ત જોડનું નિરૂપણ કરીએ તોપણ તેને સીધી પટ્ટી વડે જોડીને સમીકરણનો આલેખ મેળવી શકાય. આપણે ઓછામાં ઓછા ત્રણ ભિન્ન ઉકેલોનું નિરૂપણ કરી તેની મદદથી આલેખ તૈયાર કરીશું.

→ નોંધઃ x + by + c = 0 એ બે ચલ x અને પુની 1 ઘાતવાળું બહુપદી સમીકરણ છે. તેનું આલેખપત્ર પર ભૌમિતિક નિરૂપણ રેખા છે. તેથી જ ax + by + c = 0ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ કહે છે.

→ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ ax + by + c = 0ના આલેખ માટે

• જો a = 0 તથા c = 0 હોય, તો સમીકરણનો આલેખ x-અક્ષ બને. (એટલે કે સમીકરણ y = 0નો આલેખ x-અક્ષ છે.)
• જો b = 0 તથા c = 0 હોય, તો સમીકરણનો આલેખ y-અક્ષ બને. (એટલે કે સમીકરણ x = 0નો આલેખ y-અક્ષ છે.)
• જો a = 0 તથા c ≠ 0 એટલે કે સમીકરણ by = -c અથવા y = p; જ્યાં n = (-(frac{c}{a})). તો સમીકરણનો આલેખ x-અક્ષને સમાંતર રેખા (કે y-અક્ષને લંબરેખા) બને. આ પ્રકારના સમીકરણને એક ચલનું સમીકરણ તરીકે લેતાં તેનો આલેખ સંખ્યારેખા પરનું બિંદુ થાય.
• જો b = 0 તથા c ≠ 0 એટલે કે સમીકરણ ax = -c અથવા x = q જ્યાં q = (-(frac{c}{a})), તો સમીકરણનો આલેખ y-અક્ષને સમાંતર રેખા (કે x-અક્ષને લંબરેખા) બને. આ પ્રકારના સમીકરણને એક ચલનું સમીકરણ તરીકે લેતાં તેનો આલેખ સંખ્યારેખા પરનું બિંદુ થાય.
• જો a ≠ 0, b ≠ 0 તથા c = 0 હોય, તો સમીકરણનો આલેખ ઉગમબિંદુ 0માંથી પસાર થતી રેખા બને.
• જો a ≠ 0, b ≠ 0 અને c ≠ 0 હોય, તો સમીકરણનો આલેખ બને અક્ષોને ભિન્ન ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદતી રેખા બને. તે રેખા x-અક્ષને (-(frac{c}{a}), o)માં તથા y-અક્ષને (o, (frac{-c}{b}))માં છેદે.

→ સમીકરણ ax + by + c = 0નું સમાધાન કરતું દરેક બિંદુ તે સમીકરણના આલેખ (રેખા) પર હોય તથા સમીકરણ ax + by + c = 0ના આલેખ (રેખા) પરનું દરેક બિંદુ તે સમીકરણનું સમાધાન કરે.

ઉદાહરણ: 1.
જેની પર બિંદુ (2, 3) આવેલ હોય તેવી ચાર રેખાના સમીકરણ આપો.
ઉત્તર:
જેની પર બિંદુ (2, 3) આવેલ હોય તેવી રેખાના સમીકરણનું (2, 3) દ્વારા સમાધાન થવું આવશ્યક છે. તેવા સમીકરણ અનેક મળે. તે પૈકીના ચાર સમીકરણ નીચે મુજબ લઈ શકાય :
(1) x + y = 5
(2) 3x – 2y = 0
(3) 5x – 3y = 1
(4) 2x + 3y = 13

ઉદાહરણ : 2.
જો બિંદુ 3, 5) એ સમીકરણ ax + y = 20ના આલેખ પરનું બિંદુ હોય, તો તની કિંમત શોધો.
ઉત્તર:
બિંદુ (3, 5) એ સમીકરણ ax + y = 20ના આલેખ પરનું બિંદુ હોવાથી (3, 5) એ સમીકરણ ax + y = 20નું સમાધાન કરે.
∴ a × 3 + 5 = 20.
∴ 3d = 20 – 5
∴ 3a = 15
∴ d = 5.
આમ, 4ની કિંમત 5 છે.

ઉદાહરણ : 3.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ આલેખ આપેલ સમીકરણો પૈકી કયા ડું સમીકરણનો આલેખ છે, તે નક્કી કરો:

(1) x + y = 4
(2) x + y = 5
(3) x + y = 6
(4) 3x + 2y = 12
ઉત્તર:
સમીકરણ x + y = 4નું સમાધાન બિંદુ (4, 0) દ્વારા થાય છે, પરંતુ બાકીનાં બે બિંદુઓ દ્વારા થતું નથી.
સમીકરણ x + y = 5નું સમાધાન બિંદુ (2, 3) દ્વારા થાય છે, પરંતુ બાકીનાં બે બિંદુઓ દ્વારા થતું નથી.
સમીકરણ x + y = 6નું સમાધાન બિંદુ (0, 6) દ્વારા થાય છે, પરંતુ બાકીનાં બે બિંદુઓ દ્વારા થતું નથી.
સમીકરણ 3x + 2y = 12નું સમાધાન ત્રણેય બિંદુઓ દ્વારા થાય છે, કારણ કે 3 (4) + 2 (0) = 12, 3 (2) + 2 (3) = 12 અને 3 (0) + 2 (6) = 12.

આથી આતિમાં દર્શાવેલ આલેખ એ સમીકરણ 3x + 2y = 12નો આલેખ છે.

ઉદાહરણ : 4.
નીચેનાં સમીકરણોના આલેખ દોરોઃ
(1) 2x – 3y = 0
ઉત્તર:
2x – 3y = 0
∴3y = 2x
∴ y = (frac{2}{3})x
x = 0 માટે
y = (frac{2}{3})(0) = 0
x = 3 માટે,
y = (frac{2}{3})(3) = 2
x = -3 માટે,
y = (frac{2}{3})(-3) = -2

(2) 4x – 3y = 12
ઉત્તર:
∴ 4x – 12 = 3y
∴ y = (frac{4 x-12}{3})
x = 0 માટે
y = (frac{4(0)-12}{3}=frac{-12}{3}) = -4
x = 3 માટે
y = (frac{4(3)-12}{3}=frac{0}{3}) = 0
x = 6 માટે
y = (frac{4(6)-12}{3}=frac{12}{3}) = 4

ઉદાહરણ : 5.
સમીકરણ 2y + 1 = y + 4ને ઉકેલો અને તેના ઉકેલને
(1) સંખ્યારેખા પર અને
(2) કાર્તેઝિય સમતલમાં દર્શાવો.
ઉત્તર:
2y + 1 = y + 4
∴ 24 – y = 4 – 1
∴ y = 3
આપેલ સમીકરણને એક ચલનું સમીકરણ તરીકે લેતાં, તેના ઉકેલ y = 3ને સંખ્યારેખા પર નીચે મુજબ દર્શાવાય:

આપેલ સમીકરણના ઉકેલ y = 3ને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ તરીકે 0x + y = 3 તરીકે દર્શાવાય. આ સમીકરણના ત્રણ ઉકેલ (0, 3), (1, 3), (3, 3) લઈને તેનો આલેખ નીચે મુજબ દર્શાવાય: