Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3
Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3
પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ તમામ બહુપદી p(x)ને બહુપદી g(x) વડે ભાગો અને ભાગફળ તથા શેષ મેળવોઃ
(i) p(x) = x3 – 3x + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p (x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
(i) p(x) = x3 – 3x + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
ઉત્તરઃ
ભાગફળ = x – ૩, શેષ = 7x – 9.
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
ઉત્તરઃ
p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5 = x4 + 0 x3 – 3 x2 + 4x + 5
g(x) = x2 + 1 – x = x2 – x + 1
ભાગફળ = x2 + x – ૩, શેષ = 8
(iii) p (x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
ઉત્તરઃ
p (x) = x4 – 5x + 6 = x4 + 0 x3 – 0 x2 – 5x + 6
g(x) = 2 – x2 = – x2 + 2
ભાગફળ = – x2 – 2, શેષ = – 5x + 10.
પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ બે બહુપદીઓ પૈકી બીજી બહુપદીને પ્રથમ બહુપદી વડે ભાગીને ચકાસો કે, પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં?
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x +1
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
ઉત્તરઃ
અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી t2 – 3 એ 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12નો અવયવ છે.
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી x2 + 9x + 1 એ 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2નો અવયવ છે.
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
ઉત્તરઃ
અહીં, શેષ શૂન્ય ન હોવાથી x3 – 3x + 1 એ x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1નો અવયવ નથી.
પ્રશ્ન 3.
જો (sqrt{frac{5}{3}}) અને – (sqrt{frac{5}{3}}) એ ૩x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5નાં બે શૂન્યો હોય, તો બાકીનાં શૂન્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
(sqrt{frac{5}{3}}) અને – (sqrt{frac{5}{3}}) બે શુન્યો હોવાથી,
(x – (sqrt{frac{5}{3}})) (x + (sqrt{frac{5}{3}})) = x2 – (frac{5}{3}) એ આપેલ બહુપદનો અવયવ થશે. બાકીનાં શુન્યો શોધવા આપણે આપેલ બહુપદીને
x2 – (frac{5}{3}) વડે ભાગીશું.
હવે,
3x2 + 6x + 3 = 3 (x2 + 2x + 1)
= 3(x + 1)2
= 3(x + 1) (x + 1)
આથી 3+ 6x + 3નાં શૂન્યો –1 અને –1 થાય.
આમ, 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5નાં આપેલ શૂન્યો સિવાયનાં બાકીનાં શૂન્યો -1 અને 1 છે.
પ્રશ્ન 4.
x3 – 3x2 + x + 2ને બહુપદી g(x) વડે ભાગતા ભાગફળ અને શેષ અનુક્રમે x – 2 અને -2x + 4 મળે છે, તો 9 ) શોધો. અહીં, ભાજ્ય p (x) = x3 – 3x2 + x + 2, ભાગફળ q (x) = x – 2 અને શેષ r (x) = – 2x + 4.
ઉત્તરઃ
હવે, p(x) = g (x) × q (x) × r (x)
∴ x3 – 3x2 + x + 2 = g (x) × (x – 2) + (- 2x + 4)
∴ (x3 – 3x2 + x + 2) – (2x + 4) = g(x) × (x – 2)
∴ x3 – 3x2 + 3x – 2 = g(x) × (x – 2).
∴ g(x) = (frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2})
આમ, g (x) = ૨-૪+1.
પ્રશ્ન 5.
ભાગપ્રવિધિ અને નીચેની શરતોને સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x), g (x), q(x) અને r(x)નાં ઉદાહરણો આપોઃ
(i) p(x) ની ઘાત = q (x) ની ઘાત
(ii) q(x) ની ઘાત = r (x) ની ઘાત
(iii) r(x) ની ઘાત = 0
ઉત્તરઃ
(i) p(x) ની ઘાત = q (x) ની ઘાત હોવાથી g (x)ની ઘાત = 0
થાય, એટલે કે g(x) એ શૂન્યતર અચળ હોય તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
p = 3x2 + 10x + 13, g(x) = 3,
q(x) = x2 + 5x + 4 અને r(x) = 1.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગપ્રવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
3x2 + 15x + 13 = 3(x2 + 5x + 2) + 1.
(ii) q (x) ની ઘાત = r (x) ની ઘાત હોવાથી,
g(x) ની ઘાત > q(x) ની ઘાત, કારણ કે
g(x) ની ઘાત > r(x) ની ઘાત.
તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
p(x) = x3 + 5x2 + 2x + 7, g(x) = x2 + 1, q (x) = x + 5 અને r(x) = x + 2.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગમવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
x3 + 5x2 + 2x + 7 = (x2 + 1) (x + 5) + (x + 2)
(iii) r(x) ની ઘાત = 0 હોવાથી શેષ અચળ પદ તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 9, g(x) = x + 3,
q(x) = x2 + x + 2 અને r(x) = 3.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગપ્રવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
x3 + 4x2 + 5x + 9 = (x + 3) (x2 + x + 2) + 3
નોંધ: ઉપરોક્ત ત્રણેય દાખલાઓમાં અન્ય ઘણા ઉકેલ આપી શકાય.