Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.1Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.1

પ્રશ્ન 1.
∆ ABCમાં, ∠B કાટખૂણો છે. AB = 24 સેમી, BC = 7 સેમી, હોય, તો નીચેના ગુણોત્તરોનું મૂલ્ય શોધોઃ
(i) sin A, cos A અને
(ii) sin C, cos C
ઉત્તરઃ

∆ ABCમાં, ∠B = 90°, AB = 24 સેમી A અને BC = 7 સેમી.
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = (sqrt{mathrm{AB}^{2}+mathrm{BC}^{2}})

= (sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}})

= (sqrt{576+49})

= (sqrt{625}) = 25 સેમી.

(1) હવે, sin A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{7}{25}) અને

cos A = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{24}{25})

(2) વળી, sin C = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{24}{25}) અને

cos C = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{7}{25}).

પ્રશ્ન 2.
આપેલ આકૃતિમાં tanP – cot R શોધો.
ઉત્તરઃ
∆ PQRમાં, ∠Q = 90° PR = 13 સેમી અને PQ = 12 સેમી.

આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
QR = (sqrt{mathrm{PR}^{2}-mathrm{PQ}^{2}})

= (sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}})

= (sqrt{169-144})

= (sqrt{25}) = 5 સેમી
હવે, tan P = (frac{mathrm{QR}}{mathrm{PQ}}=frac{5}{12}) અને cot R = (frac{mathrm{QR}}{mathrm{PQ}}=frac{5}{12})

આથી tan P – cot R = (frac{5}{12}-frac{5}{12}) = 0.

પ્રશ્ન 3.
જો sin A = 1 હોય, તો cos A અને tan Aની ગણતરી કરો.
ઉત્તરઃ

આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય.

આથી sin A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{3}{4})

(frac{mathrm{BC}}{3}=frac{mathrm{AC}}{4}) = k (ધારો) (જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.)
BC = 3k અને AC = 4k

∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AB = (sqrt{mathrm{AC}^{2}-mathrm{BC}^{2}})

=(sqrt{(4 k)^{2}-(3 k)^{2}})

= (sqrt{16 k^{2}-9 k^{2}}) = k√7

હવે, cos A = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{k sqrt{7}}{4 k}=frac{sqrt{7}}{4}) અને

tan A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AB}}=frac{3 k}{k sqrt{7}}=frac{3}{sqrt{7}})

પ્રશ્ન 4.
જો 15 cot A = 8 હોય, તો sin A અને sec A શોધો.
ઉત્તરઃ

આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય.
હવે, 15 cot A = 8
cot A = (frac{8}{15})

(frac{mathrm{AB}}{mathrm{BC}}=frac{8}{15})
આથી જો AB = 8k, તો BC = 15k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

હવે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = (sqrt{mathrm{AB}^{2}+mathrm{BC}^{2}})

= (sqrt{(8 k)^{2}+(15 k)^{2}})

= (sqrt{64 k^{2}+225 k^{2}}) = 17k

હવે, sin A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{15 k}{17 k}=frac{15}{17}) અને

sec A = (frac{mathrm{AC}}{mathrm{AB}}=frac{17 k}{8 k}=frac{17}{8})

પ્રશ્ન 5.
જો sec θ = 8 હોય, તો બાકીના બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC A લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય અને ∠C = θ.

હવે, sec θ = (frac{13}{12})

(frac{mathrm{AC}}{mathrm{BC}}=frac{13}{12})

આથી જો AC = 3k, તો BC = 12k.
જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
હવે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90°
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, AB = (sqrt{mathrm{AC}^{2}-mathrm{BC}^{2}})

= (sqrt{(13 k)^{2}-(12 k)^{2}})

= (sqrt{169 k^{2}-144 k^{2}}) = 5k

હવે, sin θ = sin C = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{5 k}{13 k}=frac{5}{13})

cos θ = cos C = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{12 k}{13 k}=frac{12}{13})

tan θ tan C = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{BC}}=frac{5 k}{12 k}=frac{5}{12})

cot θ = cot C = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AB}}=frac{12 k}{5 k}=frac{12}{5})

cosec θ = cosec C = (frac{mathrm{AC}}{mathrm{AB}}=frac{13 k}{5 k}=frac{13}{5})

પ્રશ્ન 6.
∠A અને ∠B એવા લઘુકોણો છે કે જેથી cos A = cos B સાબિત કરો કે, ∠A = ∠B.
ઉત્તરઃ

ધારો કે, ∆ APQમાં ∠P = 90°
અને ∆ BMNમાં ∠M = 90°.
હવે, cos A = (frac{mathrm{PA}}{mathrm{AQ}}) છે અને cos B = (frac{mathrm{BM}}{mathrm{BN}}).

આથી cos A = cos B પરથી (frac{text { PA }}{text { AQ }}=frac{text { BM }}{text { BN }}) મળે.

∴ (frac{mathrm{PA}}{mathrm{BM}}=frac{mathrm{A} Q}{mathrm{BN}}) = k (ધારો). જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

આથી PA = k· BM અને AQ = k : BN.
બંને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
PQ = (sqrt{mathrm{AQ}^{2}-mathrm{PA}^{2}}) અને MN = (sqrt{mathrm{BN}^{2}-mathrm{BM}^{2}})

હવે, (frac{mathrm{PQ}}{mathrm{MN}}=frac{sqrt{mathrm{AQ}^{2}-mathrm{PA}^{2}}}{sqrt{mathrm{BN}^{2}-mathrm{BM}^{2}}}=frac{sqrt{k^{2} mathrm{BN}^{2}-k^{2} mathrm{BM}^{2}}}{sqrt{mathrm{BN}^{2}-mathrm{BM}^{2}}})

∴ (frac{mathrm{PQ}}{mathrm{MN}}=frac{k sqrt{mathrm{BN}^{2}-mathrm{BM}^{2}}}{sqrt{mathrm{BN}^{2}-mathrm{BM}^{2}}}) = k

આમ, ∆ APO અને ∆ BMNમાં,

(frac{mathrm{PA}}{mathrm{BM}}=frac{mathrm{AQ}}{mathrm{BN}}=frac{mathrm{PQ}}{mathrm{MN}}) = k

∴ બાબાબા શરત મુજબ, ∆ APQ ~ ∆ BIN
∠A = ∠B

પ્રશ્ન 7.
જો cot = હોય તો,
(i) (frac{(1+sin theta)(1-sin theta)}{(1+cos theta)(1-cos theta)})
(ii) cot² θ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90° અને ∠C = θ.

હવે, cot θ = (frac{7}{8})

∴ (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AB}}=frac{7}{8})
આથી જો BC = 7k, તો AB = 8k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = (sqrt{mathrm{AB}^{2}+mathrm{BC}^{2}})

= (sqrt{(8 k)^{2}+(7 k)^{2}})

= (sqrt{64 k^{2}+49 k^{2}})

= k (sqrt{(8 k)^{2}+(7 k)^{2}})

(i)

(ii) cot θ = (frac{7}{8})

∴ cot² θ = (left(frac{7}{8}right)^{2})

∴ cot² θ = (frac{49}{64})

પ્રશ્ન 8.
જો ૩cot A = 4 હોય, તો નક્કી કરો કે (frac{1-tan ^{2} A}{1+tan ^{2} A}) = cos² A – sin² A છે કે નહીં.
ઉત્તરઃ

3 cot A = 4
cot A = (frac{4}{3})
ધારો કે, ∆ ABCમાં ∠B કાટખૂણો છે.
આથી cotA = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{BC}}=frac{4}{3})
આથી જો AB = 4k, તો BC = 3k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°.
AC = (sqrt{mathrm{AB}^{2}+mathrm{BC}^{2}})

= (sqrt{16 k^{2}+9 k^{2}})

= (sqrt{25 k^{2}}) = 5k

હવે, sin A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{3 k}{5 k}=frac{3}{5})

cos A = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{4 k}{5 k}=frac{4}{5})

tan A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AB}}=frac{3 k}{4 k}=frac{3}{4})

આમ, ડા. બા. = જ.બા.
∴ (frac{1-tan ^{2} mathrm{~A}}{1+tan ^{2} mathrm{~A}}) = cos²A – sin² A સાચું છે.

પ્રશ્ન 9.
∆ ABCમાં, ∠B કાટખૂણો છે. જો tan A = (frac{1}{sqrt{3}}) હોય, તો નિમ્નલિખિત મૂલ્ય શોધોઃ
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
ઉત્તરઃ

∆ ABCમાં, ∠B = 90° અને tan A = (frac{1}{sqrt{3}})

∴ (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AB}}=frac{1}{sqrt{3}})
આથી જો BC = √3k, તો જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°,
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = (sqrt{mathrm{AB}^{2}+mathrm{BC}^{2}}=sqrt{3 k^{2}+k^{2}}=sqrt{4 k^{2}}) = 2k

હવે, sin A = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{k}{2 k}=frac{1}{2})

cos A = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{sqrt{3} k}{2 k}=frac{sqrt{3}}{2})

sin C = (frac{mathrm{AB}}{mathrm{AC}}=frac{sqrt{3} k}{2 k}=frac{sqrt{3}}{2})

cos C = (frac{mathrm{BC}}{mathrm{AC}}=frac{k}{2 k}=frac{1}{2})

(1) sin A cos C + cos A sin C = (left(frac{1}{2}right)left(frac{1}{2}right)+left(frac{sqrt{3}}{2}right)left(frac{sqrt{3}}{2}right))
= (frac{1}{4}+frac{3}{4}) = 1

(2) cos A cos C – sin A sin C = (left(frac{sqrt{3}}{2}right)left(frac{1}{2}right)-left(frac{1}{2}right)left(frac{sqrt{3}}{2}right))

= (frac{sqrt{3}}{4}-frac{sqrt{3}}{4}) = 0

પ્રશ્ન 10.
∆ PQRમાં, ∠Q કાટખૂણી છે અને PR + QR = 25 સેમી અને PQ = 5 સેમી હોય, તો છine cosP અને tane શોધો.
ઉત્તરઃ

PR + QR = 25 સેમી
PR = (25 – QR) સેમી
∆ PORમાં, ∠Q = 90°
PQ² + QR² = PR²
(5)² + QR² = (25 – QR)²
25 + QR² = 625 – 50 QR + QR²
50 QR = 600
QR = 12 સેમી
હવે, PR = (25 – 12) સેમી = 13 સેમી
હવે,

પ્રશ્ન 11.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે નહીં તે કારણ આપી જણાવો:
(i) tan Aનું મૂલ્ય હંમેશાં 1 કરતાં ઓછું હોય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે tan A એ સામેની : બાજુ તથા પાસેની બાજુનો ગુણોત્તર છે. હવે, સામેની : બાજુ એ પાસેની બાજુ કરતાં મોટી અથવા સરખી અથવા નાની હોઈ શકે. આથી tan A નું મૂલ્ય 1 કરતાં અધિક, 1 અથવા 1 કરતાં ઓછું હોઈ શકે.

(ii) A માપવાળા કોઈક ખૂણા માટે sec A = (frac{12}{5}) સત્ય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે અને .
આથી sec Aનું મૂલ્ય હંમેશાં 1થી અધિક હોય છે. (Aની અમુક વિશિષ્ટ કિંમત માટે તે મૂલ્ય 1 હોય છે.)

(iii) ખૂણા ના cosecantને સંક્ષિપ્તમાં cos A તરીકે લખાય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે cosA એ ખૂણા Aના cosineનું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. ખૂણા Aના cosecant સંક્ષિપ્તમાં cosec A તરીકે લખાય છે.

(iv) cot અને Aનો ગુણાકાર cot A છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે cot A એ cot અને Aનો ગુણાકાર નથી. cotને Aથી અલગ કરીએ, તો તેનો કોઈ જ અર્થ નથી.

(v) θ માપવાળા કોઈ એક ખૂણા માટે sin θ = (frac{4}{3}) શક્ય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે sin o એ સામેની બાજુ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે અને કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે. આથી sin oનું મૂલ્ય કદી પણ 1થી વધુ ન હોઈ શકે.