Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4

પ્રશ્ન 1.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sin A, sec A અને tan A ને cot Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
sin A = (frac{1}{{cosec} A}=frac{1}{sqrt{1+cot ^{2} A})
(∵ cosec² A = 1 + cot² A)

sec A = (sqrt{1+tan ^{2} A}=sqrt{1+frac{1}{cot ^{2} A}}=frac{sqrt{cot ^{2} A+1}}{cot A})

tan A = (frac{1}{cot mathrm{A}})

આમ, sin A = (frac{1}{sqrt{1+cot ^{2} A}}), sec A = (frac{sqrt{cot ^{2} A+1}}{cot A})

અને tan A = (frac{1}{cot mathrm{A}})

પ્રશ્ન 2.
ખૂણા A ના ખધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sec Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
tan A = (sqrt{sec ^{2} mathrm{~A}-1})

cot A = (frac{1}{tan mathrm{A}}=frac{1}{sqrt{sec ^{2} mathrm{~A}-1}})

cosec² A = 1 + cot² A
= 1 + (frac{1}{sec ^{2} A-1}=frac{sec ^{2} A}{sec ^{2} A-1})

∴ cosec A = (frac{sec A}{sqrt{sec ^{2} A-1}})

cos A = (frac{1}{sec A})

sin² A = 1 – cos² A
= 1 – (frac{1}{sec ^{2} A}=frac{sec ^{2} A-1}{sec ^{2} A})

આમ, sin A = (), cos A = (frac{1}{sec A})

tan A = (sqrt{sec ^{2} A-1}), cot A = (frac{1}{sqrt{sec ^{2} A-1}}) અને

cosec A = (frac{sec A}{sqrt{sec ^{2} A-1}})

પ્રશ્ન 3.
કિંમત શોધો :
(i) (frac{sin ^{2} 63^{circ}+sin ^{2} 27^{circ}}{cos ^{2} 17^{circ}+cos ^{2} 73^{circ}})
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

(i) (frac{sin ^{2} 63^{circ}+sin ^{2} 27^{circ}}{cos ^{2} 17^{circ}+cos ^{2} 73^{circ}})
ઉત્તરઃ
= (frac{cos ^{2}left(90^{circ}-63^{circ}right)+sin ^{2} 27^{circ}}{cos ^{2} 17^{circ}+sin ^{2}left(90^{circ}-73^{circ}right)})

= (frac{cos ^{2} 27^{circ}+sin ^{2} 27^{circ}}{cos ^{2} 17^{circ}+sin ^{2} 17^{circ}})

= (frac{1}{1}) [∵ sin² θ + cos² θ = 1] = 1

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
ઉત્તરઃ
= sin 25° sin (90° – 65°) + cos 25° cos (90° – 65°)
= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°
= sin² 25° + cos² 25° = 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

પ્રશ્ન 4.
સાથો વિકષ્પ પસંદ કરો અને તમા પસંદગીની યથાર્થતા યકસો
(i) 9 sec² A – 9 tan² A = ……………..
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 9
ઉત્તરઃ
9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec² A – tan² A)
= 9 (1)
= 9
આથી સાથો વિકષ્પ (B) 9 છે.

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) = ……………….
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
ઉત્તરઃ
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) =

આથી સાથો વિકષ્પ (C) 2 છે.

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) = …………..
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
ઉત્તરઃ
(sec A + tan A) (1 – sin A) = (left(frac{1}{cos A}+frac{sin A}{cos A}right)) (1 – sin A)

= (left(frac{1+sin A}{cos A}right)) (1 – sin A)

= (frac{1-sin ^{2} mathrm{~A}}{cos mathrm{A}})

= (frac{cos ^{2} mathrm{~A}}{cos mathrm{A}}) = cos A
આથી સાથો વિકષ્પ (D) cos A છે.

(iv) (frac{1+tan ^{2} A}{1+cot ^{2} A}) = ……………
(A) sec A
(B) -1
(C) cot A
(D) tan A
ઉત્તરઃ
(frac{1+tan ^{2} A}{1+cot ^{2} A}) = (frac{sec ^{2} mathrm{~A}}{{cosec}^{2} mathrm{~A}})

= (frac{left(frac{1}{cos ^{2} mathrm{~A}}right)}{left(frac{1}{sin ^{2} mathrm{~A}}right)})

= (frac{sin ^{2} A}{cos ^{2} A}) = tan² A
આથી સાચો વિકલ્પ (D) tan A છે.

પ્રશ્ન 5.
નીચેના નિત્યસમોમાં જેમના માટે પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તે ખૂણા લઘુકોણ છે. આ નિત્યસમો સાબિત કરો:

(i) (cosec θ – cot θ)² = (frac{1-cos theta}{1+cos theta})

(ii) (frac{cos A}{1+sin A}+frac{1+sin A}{cos A}) = 2 sec A

(iii) (frac{tan theta}{1-cot theta}+frac{cot theta}{1-tan theta}) = 1 + sec θ cosec θ
[સૂચનઃ પદાવલિને sin θ અને cos θ ના સ્વરૂપે લખો.]

(iv) (frac{1+sec A}{sec A}=frac{sin ^{2} A}{1-cos A})
[સૂિચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].

(v) નિત્યસમ cosec² A = 1 + cot² A નો ઉપયોગ કરીને (frac{cos A-sin A+1}{cos A+sin A-1}) = cosec A + cot A સાબિત કરો

(vi) (sqrt{frac{1+sin A}{1-sin A}}) = sec A + tan A

(vii) (frac{sin theta-2 sin ^{3} theta}{2 cos ^{3} theta-cos theta}) = tan θ

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = (frac{1}{tan A+cot A})
[સૂચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].

(x) (left(frac{1+tan ^{2} A}{1+cot ^{2} A}right)=left(frac{1-tan A}{1-cot A}right)^{2}) = tan² A.

ઉત્તરઃ
(i) ડા.બા. = (cosec θ – cot θ)²

(ii) ડા.બા. = (frac{cos A}{1+sin A}+frac{1+sin A}{cos A})

(iii) ડા.બા. = (frac{tan theta}{1-cot theta}+frac{cot theta}{1-tan theta})

(iv) જ.બા = (frac{sin ^{2} mathrm{~A}}{1-cos mathrm{A}})

(v) ડા.બા = (frac{cos A-sin A+1}{cos A+sin A-1})

(vi) ડા.બા. = (sqrt{frac{1+sin A}{1-sin A}})

(vii) ડા.બા. = (frac{sin theta-2 sin ^{3} theta}{2 cos ^{3} theta-cos theta})

(viii) ડા.બા. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + 2 sin A cosec A + cosec² A + cos² A + 2 cos A sec A + sec² A
= sin² A + 2(1) + (1 + cot² A) + cos² A + 2(1) + (1 + tan²A)
= (sin² A + cos² A) + 2 + 1 + cot² A + 2 + 1 + tan² A
= 1 + 2 + 1 + cot² A + 2 + 1 + tan² A
= 7 + tan² A + cot² A
= જ.બા.

(ix) ડા.બા. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)

(x) ૫હેલો ભાગ = (left(frac{1+tan ^{2} mathrm{~A}}{1+cot ^{2} mathrm{~A}}right))