Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 1 Chapter 2 रैखिक सह-सम्बन्ध Ex 2.2

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 1 Chapter 2 रैखिक सह-सम्बन्ध Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 1 Chapter 2 रैखिक सह-सम्बन्ध Ex 2.2

प्रश्न 1.
एक सोसायटी में निवास करते 7 परिवारों में से प्राप्त न्यादर्शन में पिता की ऊँचाई (सेमी. में) और उसके वयस्क पुत्र की ऊँचाई (सेमी में) निम्नानुसार है । उस पर से सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 7 पिता की ऊँचाई का माध्य \(\bar{X}=\frac{\sum x}{n}=\frac{1169}{7}\) = 167, पुत्र की ऊँचाई का माध्य \(\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{1176}{7}\) = 168 यहाँ। दोनों माध्य \(\overline{\mathrm{X}}\) और \(\overline{\mathrm{Y}}\) पूर्णांक होने से r निम्नानुसार सारणी से ज्ञात करेंगे ।

r = \(\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^2} \times \sqrt{\sum(y-\bar{y})^2}}\)
= \(\frac{25}{\sqrt{28} \times \sqrt{34}}\)
= \(\frac{25}{\sqrt{952}}\)
= \(\frac{25}{30.85}\)
∴ r = 0.81

प्रश्न 2.
नास्ता बनानेवाली स्थानिक गृह उद्योग कंपनी प्रत्येक नास्ता 100 ग्राम के पेकेट में विक्रय करती है । एक नये प्रकार की वेफर का मूल्य निर्धारण के लिए उसकी माँग और मूल्य का प्राथमिक अभ्यास करने पर निम्नानुसार सूचना प्राप्त हुई है । उस पर से वेफर का मूल्य और उसकी माँग के बीच सहसंबंधांक ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 6, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{180}{6}\) = 30, \(\overline{\mathrm{Y}}=\frac{132}{6}\) = 22
यहाँ दोनों माध्य \(\bar{x}\) और \(\bar{y}\) पूर्णांक होने से r निम्नानुसार सारणी से ज्ञात करेंगे ।

= -0.90
∴ r = -0.90
वेफर का मूल्य और माँग के बीच घनिष्ट ऋण सहसम्बन्ध है ।

प्रश्न 3.
एक विद्यालय की परीक्षा में दो विषय दिलेखा पद्धति और सांख्यिकी में दस विद्यार्थियों के न्यादर्श में से प्राप्त अंक की सूचना पर से दोनों विषय के गुण के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 10, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{640}{10}\) = 64, \(\bar{y}=\frac{\Sigma y}{n}=\frac{610}{10}\) = 61
दोनों माध्य \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) पूर्णांक में है इसलिए r की गणना निम्नानुसार सारणी से करेंगे ।

∴ r = 0.90
द्विलेखा पद्धति और सांख्यिकी के बीच घनिष्ट धन सहसम्बन्ध है ।

प्रश्न 4.
एक शहर में निवास करते बालकों की गणित और तर्कविद्या की क्षमता के बीच के सम्बन्ध प्राप्त करने हेतु एक शिक्षा संस्थान भिन्न-भिन्न विद्यालय में से चयन किये छ बालकों को गणित और तर्कविद्या आधारित बीस प्रश्न हल करने के लिए दिये जाते है । उस बालकों द्वारा सही प्रश्न हल किये हो उसकी संख्या निम्न है ।

उपयुक्त सूचना पर से सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 6, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{58}{6}\) = 9.67, \(\overline{\mathrm{y}}=\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{61}{6}\) = 10.17
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) दोनों अपूर्णांक है लेकिन प्राप्तांक छोटे होने से r की गणना निम्नानुसार करेंगे ।


∴ r = 0.24

प्रश्न 5.
निम्न सूचना पर से पूंजी विनियोग (करोड़ रु. में) और लाभ (दस लाख रु. में) के बीच सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 7, Σx = 110, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{110}{7}\) = 15.71, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}\), Σy = 64, \(\bar{y}=\frac{64}{7}\) = 9.14 यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) दोनों अपूर्णांक है लेकिन प्राप्तांक छोटे है इसलिए r की गणना निम्नानुसार करेंगे ।

∴ r = 0.82

प्रश्न 6.
किसी एक विद्यालय में से चयन किये पाँच विद्यार्थियों के प्रतिदिन अभ्यास के औसत घण्टे और निंद के औसत घण्टे की निम्न सूचना पर से अभ्यास के घण्टे और निंद के घण्टे के बीच सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर :
यहाँ n = 5, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{30}{5}\) = 6, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{40}{5}\) = 8
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) पूर्णांक है, इसलिए सहसम्बन्ध की गणना निम्नानुसार करेंगे ।

r = -0.96
r = -0.96
∴ r = -0.96
अभ्यास समय (घण्टों में) और निंद का समय (घण्टों में) के बीच घनिष्ठ ऋण सहसम्बन्ध है ।

प्रश्न 7.
निम्न दी गई उम्र (वर्ष में) और रक्त चाप (मिमि में) को विवरण पर से उम्र और रक्त चाप के बीच का सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{464}{8}\) = 58, \(\vec{y}=\frac{1153}{8}\) = 144.125
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) में से \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक है ।
उद्गमबिंदु परिवर्तन के लिए A = 58 और B = 140 लेकर गणना करने के लिए संक्षिप्त विधि का उपयोग करेंगे ।
नया चल u = x – A = x – 58
v = y – B = y – 140


r = 0.67

प्रश्न 8.
एक एन्जिनियरिंग एसोसिएशन भिन्न-भिन्न फैक्टरी में होते उत्पादन और प्रति इकाई उत्पादन खर्च के बीच का सम्बन्ध जानने के लिए छ फैक्टरी का उत्पादन (हजार इकाई में) और उत्पादन खर्च के प्रति इकाई खर्च की सूचना निम्नानुसार है ।

उपयुक्त सूचना पर से उत्पादन और प्रति इकाई उत्पादन खर्च के बीच का सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 6, \(\) = 23.83, \(\) = 82.83
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक में इसलिए r सहसंबंध गुणांक की गणना संक्षिप्त विधि से करेंगे । A = 23 और B = 80 ।
यहाँ u = X – A, u = x – 23, v = y – B, V = y – 80
इसके पश्चात् इन नये चरों के बीच सह-सम्बन्ध गुणांक की गणना करने हेतु निम्नानुसार सारणी की संरचना करेंगे ।


= \(\frac{-2035}{2210.26}\)
r = -0.92
उत्पादन और उत्पादन खर्च के बीच घनिष्ट ऋण सहसम्बन्ध गुणांक है ।

प्रश्न 9.
भिन्न-भिन्न छ शहरों के लोगों की प्रतिव्यक्ति वार्षिक आय (रु. में) और मूल्य का निर्देशांक की निम्न सूचना पर से की गणना कीजिए ।

उत्तर :
यहाँ n = 6, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{206000}{6}\) = 34333.33, \(\bar{y}=\frac{\Sigma y}{n}=\frac{980}{6}\) = 163.33
यहाँ x की किमत 1000 के गुणांक में है और y का मूल्य 10 के गुणांक में है इसलिए A = 34000, B = 160, Cx = 1000, Cy = 10 लेंगे।
नया चल u और v निम्नानुसार पारिभाषित करेंगे ।
u = \(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{A}}{\mathrm{cx}}=\frac{\mathrm{v}-34000}{1000}\) और v = \(\frac{\mathrm{y}-\mathrm{B}}{\mathrm{cy}}=\frac{\mathrm{y}-160}{10}\)

∴ r = 0.989
∴ r = 0.99
चर x और y के बीच घनिष्ट सहसम्बन्ध है ।

प्रश्न 10.
एक शहर में परिवहन चलानेवाले सदस्यों और उसके साप्ताहिक पेट्रोल का उपयोग (लिटर में) के बीच के सम्बन्ध का अभ्यास करने के लिए निम्न सूचना प्राप्त हुई है ।

उपयुक्त सूचना पर से प्रति परिवार परिवहन का उपयोग की संख्या और पेट्रोल के उपयोग के बीच सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
n = 7, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{24}{7}\) = 3.43, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{102}{7}\) = 14.57
\(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक में है । चल y का मूल्य अपूर्णांक में है इसमें दशांश के बाद एक अंक है इसलिए y की किमतों को 10 से गुणा करके 5 से भाग दे सकते है । A = 3 और B = 14.5 लेकर नया चल u और v निम्नानुसार पारिभाषित करेंगे ।
u = \(\frac{x-A}{c x}=\frac{x-3}{1}\) , v = \(\frac{10(\mathrm{y}-14.5)}{5}\)

r = 0.80
∴ r = 0.80

प्रश्न 11.
एक ग्राम्य विस्तार में खाद का उपयोग और मक्के की उपज के बीच के सम्बन्ध जानने के लिए निम्न सूचना एकत्रित की गई है।

उस पर से खाद का उपयोग और मक्के की उपज के बीच सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 6, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{8.6}{6}\) = 1.433, \(\overline{\mathrm{y}}=\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{400}{6}\) = 66.67
\(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक में है । चल x की किंमत में दशांश के बाद एक अंक है । इसलिए पूर्णांक बनाने के लिए 10 से गुणा करेंगे ।
A = 1.4 और B = 65 लेकर y को 5 से भाग करेंगे । Cx = 1 और Cy = 5 लेकर नया चल निम्नानुसार प्राप्त करेंगे ।
u = 10(x – 1.4), v = \(\frac{\mathrm{y}-\mathrm{B}}{5}\) = v = \(\frac{y-65}{5}\)

∴ r = \(\frac{428}{507.86}\)
∴ r = 0.84

प्रश्न 12.
एक जिल्ले में पिछले दस वर्ष में गीरी बारीश सेमी. में (x) और फसल की उपज प्रति हेक्टर टन में (y) की निम्न सूचन पर से सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए ।
n = 10, cov, (x, y) = 30, x का प्रमाप विचलन = 5 और y का विचरण = 144
उत्तर :
यहाँ n = 10, cov (x, y) = 30. Sx = 5, Sy² = 144 ∴ Sy = 12
सभी किमतों को निम्न सूत्र में रखने पर
r = \(\frac{{cov}(x, y)}{s x \cdot s y}\)
= \(\frac{30}{5 \times 12}\)
= \(\frac{30}{60}\)
= 0.5
∴ r = 0.5

प्रश्न 13.
एक विद्यालय के विद्यार्थियों में से दस विद्यार्थियों का न्यादर्श लेकर उसकी ऊँचाई सेमी. में (x) और भार किग्रा में (y) के – निम्न सूचना पर से ऊँचाई और भार (वजन) के बीच सहसंबंधांक ज्ञात करो ।
\(\overline{\mathrm{x}}\) = 160, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 55, Σxy = 90000, Sx = 25, Sy = 10
उत्तर :
यहाँ n = 10, \(\overline{\mathrm{x}}\) = 160, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 55, Σxy = 90000, Sx = 25, Sy = 10
निम्न सूत्र में मान रखने पर

r = 0.8
∴ r = 0.8

प्रश्न 14.
निम्न परिणाम पर से सहसंबंधांक की किंमत ज्ञात कीजिए ।
(1) Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\))² = 72, Σ(y – \(\overline{\mathrm{y}}\))² = 32, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\)) (y – \(\overline{\mathrm{y}}\)) = 45
(2) n = 6, Σx = 16, Σy = 51, Σxy = 154, Σx² = 52, Σy² = 471
उत्तर :
(1) Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\))² = 72, Σ(y – \(\overline{\mathrm{y}}\))² = 32, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\)) (y – \(\overline{\mathrm{y}}\)) = 45 के मान को निम्न सूत्र में रखने पर
r = \(\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^2} \times \sqrt{\sum(y-\bar{y})^2}}\)
= \(\frac{45}{\sqrt{72} \times \sqrt{32}}\)
= \(\frac{45}{\sqrt{2304}}\)
= \(\frac{45}{48}\)
r = 0.94
∴ r = 0.94

(2) n = 6, Σx = 16, Σy = 51, Σxy = 154, Σx² = 52, Σy² = 471 के मान को निम्न सूत्र में रखने पर

r = 0.96
∴ r = 0.96

प्रश्न 15.
निम्न सूचना पर से r का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर :
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) = 60, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 95, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\))² = 920, Σ(y – \(\overline{\mathrm{y}}\))² = 1050, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\)) (y – \(\overline{\mathrm{y}}\)) = -545 निम्न सूत्र में मान रखने पर

r = -0.55