Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 1 Chapter 3 रैखिक नियत-सम्बन्ध Ex 3

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 1 Chapter 3 रैखिक नियत-सम्बन्ध Ex 3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 1 Chapter 3 रैखिक नियत-सम्बन्ध Ex 3

विभाग – A

निम्न दिए गए विकल्पों में से सही विकल्प की पसंदगी करके लिखिए ।

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-सा विकल्प, दो चल के बीच का विधेयात्मक संबंध दर्शाता है ?
(a) सहसम्बन्ध
(b) नियतसम्बन्ध
(c) माध्य
(d) विचरण
उत्तर :
(b) नियतसम्बन्ध

प्रश्न 2.
नियत सम्बन्ध की श्रेष्ठ अन्वायोजित रेखा कौन-सी रीति से प्राप्त की जाती है ? ।
(a) न्यूनतम वर्गों की विधि
(b) कार्ल पियर्सन की विधि
(c) महत्तम वर्गों की विधि
(d) बाउली की विधि
उत्तर :
(a) न्यूनतम वर्गों की विधि

प्रश्न 3.
प्रचलित संकेत में byx अर्थात् क्या ?
(a) अंतःखंड
(b) सापेक्ष चल
(c) x का मूल्य में एक इकाई का परिवर्तन करने से y के मूल्य में होता अनुमानित परिवर्तन
(d) y का मूल्य में एक इकाई का परिवर्तन करने से x के मूल्य में होता अनुमानित परिवर्तन
उत्तर :
(c) x का मूल्य में एक इकाई का परिवर्तन करने से y के मूल्य में होता अनुमानित परिवर्तन

प्रश्न 4.
निम्न में से कौन-सा विकल्प सही है ?
(a) byx = r × \(\frac{S x}{S y}\)
(b) byx = r × \(\frac{S^2 y}{S^2 x}\)
(c) byx = \(\frac{{Cov}(x, y)}{S^2 y}\)
(d) \(\overline{\mathrm{yx}}\) = r \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}\)
उत्तर :
(d) \(\overline{\mathrm{yx}}\) = r \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}\)

प्रश्न 5.
नियतसंबंध रेखा कौन से बिंदु में से गुजरती है ?
(a) (\(\overline{\mathrm{x}}\), \(\overline{\mathrm{y}}\))
(b) (0, \(\overline{\mathrm{u}}\))
(c) (\(\overline{\mathrm{x}}\), 0)
(d) (0, 0)
उत्तर :
(a) (\(\overline{\mathrm{x}}\), \(\overline{\mathrm{y}}\))

प्रश्न 6.
y की x पर की नियतसंबंध रेखा में अनुमान की त्रुटि e क्या होगा ?
(a) y – ŷ
(b) x̂ – ŷ
(c) x – x̂
(d) ŷ – x̂
उत्तर :
(a) y – ŷ

प्रश्न 7.
यदि वस्तु की बिक्री उसके विज्ञापन खर्च पर आधार रख्खे तो कौन-सी नियत संबंध का उपयोग होगा ? ।
(a) विज्ञापन खर्च की बिक्री पर की नियतसंबंध रेखा
(b) विज्ञापन खर्च की विज्ञापन खर्च पर की नियतसंबंध रेखा
(c) बिक्री का विज्ञापन खर्च पर की नियतसंबंध रेखा
(d) बिक्री की बिक्री पर की नियतसंबंध रेखा
उत्तर :
(c) बिक्री का विज्ञापन खर्च पर की नियतसंबंध रेखा

प्रश्न 8.
निम्न में से y की x के प्रति नियत संबंध रेखा कौन-सी है ?
(a) ŷ = a + bx + Cx²
(b) x̂ = c + by
(c) ŷ = a + bx
(d) ŷ = a + bx²
उत्तर :
(c) ŷ = a + bx

प्रश्न 9.
सहसम्बन्ध गुणांक (r) की कौन-सी किमत के लिए नियतसम्बन्ध गुणांक का मूल्य शून्य होता है ?
(a) 1
(b) -1
(c) \(\frac {1}{2}\)
(d) 0
उत्तर :
(d) 0

प्रश्न 10.
दो चल के बीच नियतसम्बन्ध के अभ्यास में निर्णायकता गुणांक अर्थात् क्या ?
(a) दो प्रमाप विचलनों का गुणाकार
(b) सहसंबंध गुणांक का वर्ग
(c) सहविचरण का वर्ग
(d) दो विचरणों का गुणाकार
उत्तर :
(b) सहसंबंध गुणांक का वर्ग

प्रश्न 11.
यदि y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा ŷ = 10 + 3x हो, तो x = 20 के लिए y का मूल्य का अनुमान कितना होगा ?
(a) 13
(b) 60
(c) 70
(d) 203
उत्तर :
(c) 70

प्रश्न 12.
यदि y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा 2x + 3y – 50 = 0 हो, तो byx का मूल्य कितना होगा ?
(a) \(\frac {3}{2}\)
(b) –\(\frac {3}{2}\)
(c) – \(\frac {2}{3}\)
(d) 2
उत्तर :
(c) – \(\frac {2}{3}\)

प्रश्न 13.
y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा ŷ = 30 – 1.5x है । यदि \(\overline{\mathrm{x}}\) = 10 हो, तो \(\overline{\mathrm{y}}\) का मूल्य कितना होगा ?
(a) 28.5
(b) 20
(c) 15
(d) 45
उत्तर :
(c) 15

प्रश्न 14.
यदि u = \(\frac{x-15}{10}\) और v = \(\frac{y-50}{2}\) हो और byx = 7.5 हो, तो bvu का मूल्य कितना होगा ?
(a) 7.5
(b) 1.5
(c) 37.5
(d) 150
उत्तर :
(c) 37.5

प्रश्न 15.
यदि r = 0.8 हो, तो सापेक्ष चल के कुल चलन का कितना हिस्सा नियत संबंध मोडल द्वारा समझाया जा सकता है ?
(a) 80%
(b) 64%
(c) 36%
(d) 20%
उत्तर :
(b) 64%

विभाग – B

निम्न प्रश्नों के एक वाक्य में उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
रैखिक नियतसंबंध की परिभाषा दीजिए ।
उत्तर :
गाणितिक फलन द्वारा निश्चित हुए x और y बीच सम्बन्ध को नियत सम्बन्ध कहेंगे । यदि चर x और y बीच के सम्बन्ध को किसी समरेखा द्वारा नियत किया जाय तो उस प्रकार के सम्बन्ध को रैखिक नियत-सम्बन्ध कहेंगे ।

प्रश्न 2.
नियत सम्बन्ध मुणांक की परिभाषा दीजिए ।
उत्तर :
नियत सम्बन्ध रेखा ŷ = a + bxy में चर x का सहगुणांक b को y का x के प्रति अन्वायोजित रेखा का नियतसम्बन्ध गुणांक कहेंगे ।

प्रश्न 3.
रैखिक नियतसम्बन्ध मोडल बताइए ।
उत्तर :
सापेक्ष चर y तथा निरपेक्ष चर x के बीच समरेखीय नियत सम्बन्ध प्रस्तुत करनेवाला रैखिक नियत सम्बन्ध मॉडल निम्नानुसार पारिभाषित होता है ।
y = a + bx + u यहाँ a और B अचलांक है ।

प्रश्न 4.
नियतसम्बन्ध रेखा के संदर्भ में त्रुटि अर्थात् क्या ?
उत्तर :
अवलोकित मान y और नियतसम्बन्ध रेखा के उपयोग से प्राप्त सापेक्ष चर का आकलित मान ŷ बीच के अन्तर को अन्वायोजित या आकलित त्रुटि (error) कहते है, जिसे संकेत में e से प्रदर्शित किया जाता है । e = y – ŷ

प्रश्न 5.
नियत संबंध की श्रेष्ट अन्वायोजित रेखा प्राप्त करने की विधि का नाम बताइए ।
उत्तर :
नियत संबंध की श्रेष्ठ अन्वायोजित रेखा प्राप्त करने की विधि न्यूनतम वर्गों की विधि है ।

प्रश्न 6.
नियतसंबंध गुणांक कौन से परिवर्तन से स्वतंत्र है ?
उत्तर :
नियतसंबंध गुणांक उद्गम बिन्दु परिवर्तन से स्वतंत्र है । उद्गम बिन्दु का प्रभाव नहीं पड़ता ।

प्रश्न 7.
नियतसंबंध गुणांक कौन से परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है ?
उत्तर :
नियत संबंध गुणांक प्रमाण-माप परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है । प्रमाण-माप का परिवर्तन का प्रभाव पड़ता है ।

प्रश्न 8.
यदि किसी न्यादर्श बिंद अन्वायोजित रेखा पर आया हुआ हो, तो त्रुटि का मूल्य कितना होगा ?
उत्तर :
यदि किसी न्यादर्श बिंदु अन्वायोजित रेखा पर आया हुआ हो, तो त्रुटि का मूल्य ‘0’ होगा । (शून्य)

प्रश्न 9.
प्रमाणमाप (स्केल) परिवर्तन से यदि x और y दोनों चर के मूल्य को दो गुना किया जाय तो, नियत सम्बन्ध गुणांक में परिवर्तन
होगा ?
उत्तर :
दोनों चर को 2 से गुणा जाय अर्थात् Cx = \(\frac {1}{2}\) और Cy = \(\frac {1}{2}\) होगा जिससे नियतसम्बन्ध गुणांक पर कोई प्रभाव नहीं होगा ।

प्रश्न 10.
यदि r = 0.5, Sx = 2, Sy = 4 हो, तो नियतसम्बन्ध गुणांक byx का मूल्य कितना होगा ?
उत्तर :
bux = r × \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}\) ∴ bux = 1 होगा
= 0.5 × \(\frac{4}{2}\)
= 1

प्रश्न 11.
नियत सम्बन्ध रेखा ŷ = 31.5 + 1.85x पर से x = 10 के लिए y की आकलित किमत कितनी ?
उत्तर :
ŷ = 31.5 + 1.85x में x = 10 रखने पर
ŷ = 31.5 + 1.85 (10) ∴ y का मान 50 होगा ।
ŷ = 31.5 + 18.5
ŷ = 50

प्रश्न 12.
यदि y = a + bx जहाँ b > 0 यह y और x के बीच सम्बन्ध दर्शाता हो, तो r का मूल्य कितना होगा ?
उत्तर :
यदि y = a + bx जहाँ b> 0 हो, तो r का मूल्य 1 होगा ।

प्रश्न 13.
यदि y = 5 – 3x यह y और x के बीच का संबंध दर्शाता है, तो r का मूल्य कितना होगा ?
उत्तर :
ŷ = a + bx है जहाँ y = 5 – 3x है । इसलिए r = -1 होगा ।

विभाग – C

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
नियत सम्बन्ध रेखा ŷ = a + bx में अचलांक a और b क्या दर्शाता है ?
उत्तर :
नियत संबंध रेखा में a और b को प्राचल कहते हैं । यदि निरपेक्ष चर x के मान में एक इकाई की वृद्धि हो, तो b > 0 के लिए सापेक्ष चर y के मान में b इकाई जितनी वृद्धि होती है ।

प्रश्न 2.
नियत सम्बन्ध रेखा ŷ = 23.2 – 1.2x के अन्वायोजन एक अवलोकन (6, 17) का उपयोग हुआ हो, तो x = 6 के लिए y का आकलित मूल्य की त्रुटि बताइए ।
उत्तर :
ŷ = 23.2 – 1.2x में x = 6 रखने पर
ŷ = 23.2 – 1.2 (6)
ŷ = 23.2 – 7.2
ŷ = 16.0
अवलोकित मूल्य x = 6 के लिए 17 है ।
∴ त्रुटि e = y – ŷ
∴ e = 1

प्रश्न 3.
यदि \(\overline{\mathrm{x}}\) = 30, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 20 और b = 0.6 हो, तो y की x पर की नियतसंबंध रेखा का अंत:खंड ज्ञात करो और उस रेखा का समीकरण लिखिए ।
उत्तर :
अंतःखंड a ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग करेंगे ।
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 20 – 0.6 (30)
a = 20 – 18
∴ a = 2
y की x पर का नियतसंबंध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 2 + 0.6x
∴ ŷ = 2 + 0.6x

प्रश्न 4.
यदि bux = 5 हो, तो उसका अर्थघटन क्या होगा ?
उत्तर :
bux = b = 5 हो, तो यदि x का मान में कमी वृद्धि करने से y का मान 5 इकाई जितना बढ़ेगा या घटेगा ऐसा आकलन करेंगे ।

प्रश्न 5.
यदि b = 1.5, r = 0.8 और x का प्रमाप विचलन 1.6 हो, तो y का प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ b = 1.5, r = 0.8, Sx = 1.6 को सूत्र में रखने पर
b = r × \(\frac{S y}{S x}\)
1.5 = 0.8 × \(\frac{\text { Sy }}{1.6}\)
\(\frac{1.5 \times 1.6}{0.8}\) = Sy
∴ Sy = 3
y का प्रमाप विचलन 3 होगा ।

प्रश्न 6.
यदि y की x पर की नियतसम्बन्ध रेखा पर का नियतसम्बन्ध गुणांक 0.6 हो तथा x और y का प्रमाप विचलन क्रमश: 5 और 3 हो, तो निर्णायकता गुणांक ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ b = 0.6, Sx = 5, Sy = 3 दिया है । इसलिए r निम्नसूत्र से प्राप्त करेंगे ।
∴ b = r × \(\frac{S y}{S x}\)
0.6 = r × \(\frac{3}{5}\)
\(\frac{0.6 \times 5}{3}\) = r
∴ r = \(\frac{3}{3}\)
∴ r = 1
∴ r² = 1
∴ R² = 1
निर्णायकता गुणांक 1 होगा ।

प्रश्न 7.
यदि y की x पर की नियतसंबंध रेखा ŷ = 35 + 2x और Cov (x, y) = 50 हो, तो x का प्रमाप विचलन ज्ञात करो ।
उत्तर :
यहाँ ŷ = 35 + 2x दिया है । x का सहगुणक 2 है ।
∴ b = 2, cov (x, y) = 50 है ।
∴ b = \(\frac{{Cov}(\mathrm{x}, \mathrm{y})}{\mathrm{Sx}^2}\)
2 = \(\frac{50}{\mathrm{Sx}^2}\)
∴ Sx² = \(\frac{50}{2}\)
∴ Sx² = 25
∴ Sx = \(\sqrt{25}\)
∴ Sx = 5
प्रमाप विचलन 5 होगा ।

प्रश्न 8.
प्रश्न नं. 7 की जानकारी में दी गई नियत संबंध रेखा के लिए यदि y का मूल्य में 10 इकाई की वृद्धि करनी हो, तो x के मूल्य में कितनी इकाई की वृद्धि करनी पड़ेगी ?
उत्तर :
यहाँ समी. ŷ = 35 + 2x दिया है । y के मूल्य में 10 इकाई वृद्धि करने के लिए नियतसंबंध गुणांक b = 2 दिया है।
∴ x = 10/2 = 5 जितनी x में वृद्धि करनी पड़ेगी ।

प्रश्न 9.
यदि \(\overline{\mathrm{x}}\) = 10, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 25, Σ(x – 10) (y – 25) = 120 औΣ(x – 10)² = 100 हो, तो y का x के प्रति नियतसंबंध रेखा के लिए a और b का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) = 10 और \(\overline{\mathrm{y}}\) = 25 दिया है । (x – 10) और (y – 25) लेकर विचलन प्राप्त किया है अर्थात् विचलन माध्य में से लिया
गया है ।
∴ Σ(x – 10) (y – 25) = Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}[/latex) (y – [latex]\overline{\mathrm{y}}[/latex) = 120
Σ(x – 10)² = Σ(x – [latex]\overline{\mathrm{y}}[/latex)² = 100
∴ b = [latex]\frac{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\)
= \(\frac{120}{100}\)
∴ b = 1.2
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 25 – 1.2 (10)
= 25 – 12
a = 13
∴ a = 13

प्रश्न 10.
नियतसंबंध रेखा के एक अभ्यास में से प्राप्त सूचना यदि byx = 0.75, u = 6(x – 20) और v = 2(y – 15) हो, तो bvu का मूल्य कितना होगा ?
उत्तर :
यहाँ byx = 0.75, Cx = \(\frac {1}{6}\) और Cy = \(\frac {1}{2}\) होगा ।
∴ bvu = byx × \(\frac{\mathrm{Cx}}{\mathrm{Cy}}\) ∴ bvu = 0.25
= 0.75 × \(\frac{1 / 6}{1 / 2}\)
= 0.75 × \(\frac {1}{6}\) × \(\frac {2}{1}\) = 0.25

विभाग – D

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
योग्य उदाहरण देकर ‘दो चर के बीच कार्यकारण का सम्बन्ध है’ यह विधान समझाइए एवं निरपेक्ष और सापेक्ष चल पारिभाषित कीजिए ।
उत्तर :
यदि याच्छिक चर एकदूसरे के साथ इस प्रकार से जुड़े हुए हो कि यदि किसी एक चर की कीमत में परिवर्तन होने से किसी
दूसरे चर की कीमत में भी परिवर्तन होता हो, तो दोनों चरों के बीच कार्य-कारण का सम्बन्ध है, ऐसा कहा जाएगा । उदा. वस्तु की बाजार कीमत में वृद्धि या कमी होने से वस्तु की मांग में भी वृद्धि या कमी होगी । व्यक्ति द्वारा किया जानेवाला खर्च और बचत, पिता की उम्र और पुत्र की उम्र, वस्तु की बिक्री और लाभ । इन सभी उदाहरणों में दोनों चरों के बीच कार्यकारण का सम्बन्ध है ।

1. निरपेक्ष चर : कार्य-कारण से सम्बन्धित दो यादृच्छिक चरों में से एक चर ‘कारण चर’ है, जिसे स्वतंत्र या निरपेक्ष चर कहेंगे । जिसे संकेत में x द्वारा निर्देशित करेंगे ।
2. सापेक्ष चर : कार्य-कारण से सम्बन्धित दो याद्दच्छिक चरों में से दूसरा चर कार्य चर है, उसे आधारित या सापेक्ष चर कहेंगे । जिसे Y संकेत में प्रदर्शित करेंगे ।

प्रश्न 2.
नियत सम्बन्ध रेखा के अन्वायोजन की विकीर्ण आकृति की विधि समझाइए और उसकी मर्यादा बताइए ।
उत्तर :
माना कि Y का X के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा का अन्वायोजन करने के लिए हमारे पास द्विचर समष्टि में से प्राप्त न्यादर्श सूचना के युग्म अवलोकन (x₁, y₁), (x₂, y₂) ………. (x_n, y_n) है । इस सूचना से हम प्रथम विकीर्ण आरेख चित्र बनायेंगे । जिसमें (x₁, y₁) ……… (x_n, y_n) बिन्दुओं को आरेखित करेंगे । इन बिन्दुओं का अवलोकन करके एक ऐसी समरेखा खींची जायेगी, जो विकीर्ण आरेख चित्र पर आए महत्तम बिंदुओं के निकटतम अन्तर से गुजरती हो । हमारे अनुमानानुसार यही, Y और X के बीच सम्बन्ध प्रस्तुत करनेवाली श्रेष्ठतम रेखा होगी । इसी रेखा को ही Y का X के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा कहेंगे ।

मर्यादा (सीमा):

1. सबसे बड़ी सीमा यह है कि इस विधि से एक ही सूचना के आधार पर भिन्न-भिन्न व्यक्ति भिन्न-भिन्न अन्वायोजित नियत सम्बन्ध रेखाएँ प्राप्त करे, ऐसा संभव हो सकता है ।
2. एक ही सूचना के आधार से भिन्न-भिन्न व्यक्ति भिन्न-भिन्न निष्कर्ष निकालते है ।
3. इस विधि से प्राप्त नियतसम्बन्ध रेखा द्वारा y और X के बीच के सम्बन्ध का श्रेष्ठ आकलन नहीं हो पाता ।

प्रश्न 3.
नियतसम्बन्ध रेखा के अन्वायोजन की न्यूतन वर्गों की विधि समझाइए ।
उत्तर :
सी. एफ. गोस (कार्ल फ्रेडरिक गोस) नामक गणितशास्त्री ने यह पद्धति बताई है । याच्छिक चर X और Y के n न्यादर्श युग्म अवलोकन (x₁, y₁)………. (x_n, y_n) की सहायता से सापेक्ष चर Y का निरपेक्ष चर X के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा का श्रेष्ठ अन्वायोजन इस विधि से प्राप्त किया जा सकता है । इस विधि से प्राप्त अन्वायोजित नियत सम्बन्ध रेखा श्रेष्ठ अन्वायोजित रेखा (Line of Best fit) कही जाती है । सापेक्ष चर Y की X के प्रति इस अन्वायोजित नियत-सम्बन्ध रेखा का समीकरण
Ŷ = a + bx
से प्रदर्शित किया जाता है । इस विधि से प्राप्त अन्वायोजित रेखा श्रेष्ठ रेखा मानी जाती है, क्योंकि इस रेखा से प्राप्त अन्वायोजित त्रुटि e = y – Ŷ के वर्गों का योग Σe² = Σ(y – Ŷ)² = Σ(y – a – bx)² न्यूनतम होता है । इसी कारण से इस विधि को न्यूनतम वर्ग की विधि कहते हैं । यहाँ a और b का मान निम्नानुसार लें तो त्रुटि पदों के वर्गों का योग न्यूनतम होगा :
b = \(\frac{\Sigma(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\Sigma(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\) = \(\frac{n \Sigma x y-(\Sigma x)(\Sigma y)}{n \Sigma x^2-(\Sigma x)^2}\)
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\) होगा ।

प्रश्न 4.
नियत सम्बन्ध की उपयोगिता बताइए ।
उत्तर :
नियत सम्बन्ध की उपयोगिता निम्नानुसार है :
(1) निरपेक्ष चर X और सापेक्ष चर Y के बीच के सम्बन्ध का स्वरूप जाना जा सकता है । उस पर से निरपेक्ष चर X के किसी मान x₀ के लिए सापेक्ष चर Y का आकलित मान Ŷ ज्ञात किया जा सकता है और यह मान a + bx₀ जितना होगा ऐसा कह सकते है ।

(2) X के मान में कुछ इकाई की वृद्धि (कमी) होने से Y के मान में कितना परिवर्तन होगा, यह हम नियत-सम्बन्ध के अध्ययन द्वारा निश्चित कर सकते है ।

उदाहरण : माना कि दो चरों के बीच की नियत सम्बन्ध रेखा Ŷ = 5 + 2.5x है । जहाँ X = यंत्र के उपयोग का समय (वर्ष में) और Y = यंत्र का निर्वाह खर्च (रु. 100 में) है । अब यदि यंत्र 5 वर्ष पुराना हो, तो उसके निर्वाह खर्च का अंदाज Ŷ = 5 + 2.5 (5) = 5 + 12.5 = 17.5 होगा । अर्थात् (17.5 × 100) = 1750 रु. होगा ।

प्रश्न 5.
नियतसम्बन्ध गुणांक के गुणधर्म बताइए और नियत सम्बन्ध रेखा हमेशा कौन से बिन्दु में से गुजरती है वह बताइए ।
उत्तर :

1. bux = r × \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}\) तथा bxy = \(\frac{\mathrm{r} \times \mathrm{Sx}}{\mathrm{Sy}}\) से देखा जा सकता है कि byx × bxy = r² अर्थात् byx तथा bxy दोनों के चिन्ह समान होते है ।
2. यदि दो नियत सम्बन्ध गुणांकों में से एक मान 1 से अधिक हो, तो दूसरे नियतसम्बन्ध गुणांक का मान 1 से इतना कम होगा कि जिससे दोनों का गुणाकार 1 या उससे कम रहे ।
3. यदि R² = 1 हो, तो दोनों रेखाएँ एकाकार होगी ।
4. यदि R² = 0 हो, तो दोनों नियत संबंध रेखाएँ एकदूसरे को समकोण पर काटती है ।
5. दोनों नियतसम्बन्ध रेखाओं के लिए निर्णायकता गुणांक R² समान होगा, क्योंकि R² = r² = r(x, y)² = r(yx)²
6. यदि R² = 1 हो, तो दोनों नियत सम्बन्ध रेखाएँ एकदूसरे से व्यस्त होगी ।
   → y की x पर की नियतसंबंध रेखा हमेशां (\(\overline{\mathrm{x}}\), \(\overline{\mathrm{y}}\)) बिन्दु में से गुजरती है ।

प्रश्न 6.
समझाइए : निर्णायकता गुणांक
उत्तर :
नियत सम्बन्ध रेखा के उपयोग से प्राप्त आकलित मान की विश्वसनीयता का आधार, दो चरों के बीच के सहसम्बन्ध गुणांक r पर रहता है । यदि दो चरों x और y के बीच ‘संपूर्ण’ समरेखीय सहसम्बन्ध हो अर्थात् |r| = 1 हो, तो नियत सम्बन्ध रेखा की सहायता से प्राप्त आकलित मान 100% विश्वसनीय है, ऐसा कहेंगे । परंतु यदि |r | का मान शून्य के समीप हो, तो नियत सम्बन्ध रेखा की सहायता से प्राप्त आकलित मान विश्वसनीय नहीं है, ऐसा कहा जायेगा । नियतसम्बन्ध रेखा की सहायता से प्राप्त आकलित मान की विश्वसनीयता का माप दिए गए उन दो चरों x और y के बीच के सहसम्बन्ध गणांक के परिमाण पर आधारित है । इस माप को निर्णायकता गुणांक कहते हैं, जिसे संकेत में R² द्वारा प्रदर्शित करते है ।

प्रश्न 7.
नियतसम्बन्ध के उपयोग में रखने योग्य सावधानियाँ ।
उत्तर :

• नियत सम्बन्ध के अध्ययन में नियत-सम्बन्ध रेखा का अन्वायोजन करते समय ‘चर Y और चर X के बीच सुरेख नियत सम्बन्ध है’ ऐसी पूर्वधारणा की जाती है । इस परिकल्पना की योग्यता की जाँच निर्णायकता गुणांक R² की मदद से की जाती है । इस प्रकार R² की मदद से परिकल्पना की योग्यता की जाँच करने के पश्चात् ही उसका उपयोग करना चाहिए ।
• यदि Y और X के बीच सहसम्बन्ध संपूर्ण सुरेख सह-सम्बन्ध के समीप हो तब ही नियत सम्बन्ध रेखा से प्राप्त परिणाम उपयोगी सिद्ध होंगे ।
• यदि सुरेख नियत सम्बन्ध रेखा योग्य न हो, तो सांख्यिकी की विविध पद्धतिओं का उपयोग करके योग्य नियत सम्बन्ध रेखा प्राप्त करनी चाहिए । फिर ही नियत सम्बन्ध के अनुमानों का उपयोग सावधानीपूर्वक करना चाहिए ।

प्रश्न 8.
यदि दो सम्बन्धित चर x और y के लिए Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\))² = 80, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\)) (y – \(\overline{\mathrm{y}}\)) = 60, \(\overline{\mathrm{x}}\) = 8, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 10 हो, तो y की x पर की नियतसम्बन्ध रेखा ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
byx = \(\frac{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\)
= \(\frac{60}{80}\)
= 0.75
∴ b = 0.75
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 10 – 0.75 (8)
a = 4
∴ a = 4
अत: y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 4 + 0.75x
∴ ŷ = 4 + 0.75x

प्रश्न 9.
यदि \(\overline{\mathrm{x}}\) = 30, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 50, r = 0.8 और x और y का प्रमाप विचलन क्रमश: 2 और 5 हो, तो y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) = 30, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 50, r = 0.8, Sx = 2, Sy = 5 दिया है । इसलिए निम्न सूत्र का उपयोग करेंगे ।
b = r × \(\frac{S y}{S x}\)
= 0.8 × \(\frac{5}{2}\)
= 2
∴ b = 2
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 50 -2 × 30
= 50 – 60
= -10
∴ a = -10
अत: y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = -10 + 2x
∴ ŷ = -10 + 2x

प्रश्न 10.
यदि y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा ŷ = 11 + 3x और Sx : Sy = 3:10 हो, तो निर्णायकता गुणांक ज्ञात कीजिए और y में होते कुल चलन में से कितना चलन नियतसम्बन्ध मॉडल पर से समझाया जा सकता है वह बताइए ।
उत्तर :
यहाँ ŷ = 11 + 3x को ŷ = a + bx के साथ तुलना करने पर a = 11, b = 3
अब Sx : Sy = 3 : 10
∴ \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}=\frac{10}{3}\)
और b = r × \(\frac{\mathrm{Sy}}{\mathrm{Sx}}\)
3 = r × \(\frac{10}{3}\)
∴ \(\frac{3 \times 3}{10}\) = r
∴ r = 0.9
∴ निर्णायकता गुणांक R² = r² = (0.9)² = 0.81 होगा ।
y में होते चलन में से 81% चलन नियतसम्बन्ध मॉडल पर से समझाया जा सकता है ।

प्रश्न 11.
यदि प्रचलित संकेत में n = 7, Σu = 2, Σv = 25, Σu² = 160 और Σuv = 409 हो, तो y की x पर की नियतसम्बन्ध
रेखा का नियत सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए और उसका अर्थघटन करो ।
उत्तर :
यहाँ n = 7, Σu = 2, Σv = 25, Σu² = 160, Σuv = 409 दिया है ।
∴ b = \(\frac{\mathrm{n} \sum u v-\left(\sum u\right)\left(\sum v\right)}{n \sum u^2-\left(\sum u\right)^2}\)
= \(\frac{7 \times 409-(2)(25)}{7 \times(160)-(2)^2}\)
= \(\frac{2863-50}{1120-4}\)
= \(\frac{2813}{1116}\)
= 2.52
∴ b = 2.52
अर्थघटन : b = 2.52 अर्थात् कह सकते है कि x के मूल्य में 1 इकाई जितनी वृद्धि की जाय तो y के मूल्य में 2.52 इकाई जितनी वृद्धि होगी।

प्रश्न 12.
यदि byx = 0.8 हो, तो निम्न u और v के लिए bvu का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
(i) u = x – 105 और v = y – 90
(ii) u = \(\frac{x-1400}{100}\) और v = \(\frac{\mathrm{y}-750}{50}\)
(iii) u = 10 (x – 4.6) और v = y – 75
उत्तर :
(i) u = x – 105 = x – A और v = y – 90 = y – B होने से ।
∴ bvu = byx = 0.8 ही होता है ।।
∴ bvu = 0.8

(ii) u = \(\frac{x-1400}{100}\) और v = \(\frac{\mathrm{y}-750}{50}\)
∴ Cx = 100 और Cy = 50 होगा ।
∴ byx = bvu . \(\frac{\mathrm{Cy}}{\mathrm{Cx}}\)
∴ bvu = byx × \(\frac{\mathrm{Cx}}{\mathrm{Cy}}\)
byu = 0.8 × \(\frac{100}{50}\)
= 1.6
∴ bvu = 1.6

(iii) u = 10(x – 4.6) = \(\frac{\mathrm{x}-4.6}{1 / 10}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{A}}{\mathrm{Cx}}\) और v = y – 75 है ।
= \(\frac{y-75}{1}\) = Cy = 1, Cx = \(\frac{1}{10}\)
byx = bvu . \(\frac{\mathrm{Cx}}{\mathrm{Cy}}\)
∴ bvu = byx × \(\frac{\mathrm{Cx}}{\mathrm{Cy}}\)
= 0.8 × \(\frac{1 / 10}{1}\)
= 0.8 × \(\frac{1}{10}\) = 0.08
∴ bvu = 0.08

प्रश्न 13.
एक द्विचर सूचना पर से निम्नानुसार परिणाम प्राप्त हुए है ।

इस जानकारी से y की x पर की नियतसम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\overline{\mathrm{x}}\) = 100, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 100, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\))² = 130, Σ(y – \(\overline{\mathrm{y}}\))² = 145, Σ(x – \(\overline{\mathrm{x}}\)) (y – \(\overline{\mathrm{y}}\)) = 115
b = \(\frac{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\)
= \(\frac{115}{130}\)
= 0.88
∴ b = 0.88
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 100 – 0.88 (100)
a = 12
∴ a = 12
अत: y का x पर का नियतसम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 12 + 0.88x

विभाग – E

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
एक I.T. कंपनी के मेनेजर ने सात मार्केटिंग एक्जिक्युटिव का नौकरी का वर्ष और उसकी आय की निम्न सूचना एकत्रित की।

इस जानकारी पर से मार्केटिंग एक्जिक्युटिव की मासिक आय का उसकी नौकरी के वर्ष के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए।
उत्तर :
यहाँ n = 7, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{56}{7}\) = 8, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{56}{7}\) = 8
नौकरी के वर्ष = x
मासिक आय (दस हजार रु.) = y

b = \(\frac{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\)
= \(\frac{21}{28}\)
= 0.75
∴ b = 0.75
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 8 – 0.75 (8)
= 8 – 6
∴ a = 2
अत: y का x के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 2 + 0.75x

प्रश्न 2.
किसी एक वस्तु के लिए मूल्य (रु.) और उसकी पूर्ति (सौ इकाई में) एकत्रित की गई सूचना निम्नानुसार है ।

इस जानकारी से पूर्ति की मूल्य पर की नियतसम्बन्ध रेखा ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{480}{8}\) = 60, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{632}{8}\) = 79, मूल्य = x और पूर्ति = y लेकर सारणी निम्नानुसार प्राप्त करेंगे ।

b = \(\frac{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})(\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}})}{\sum(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})^2}\)
= \(\frac{24}{36}\)
= 0.67
∴b = 0.67
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 79 – 0.67 (60)
= 79 – 40.2
= 38.8
∴ a = 38.8
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 38.8 + 0.67x

प्रश्न 3.
ओनलाईन शोपिंग की सुविधा देती एक कंपनी के अंतिम वर्ष की मासिक विज्ञापन खर्च और बिक्री की विवरण पर से निम्न सूचना प्राप्त हुई है ।

इस जानकारी से बिक्री का विज्ञापन खर्च के प्रति नियतसम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ विज्ञापन खर्च (x) और बिक्री (y) है
\(\overline{\mathrm{x}}\) = 10, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 90, Sx = 3, Sy = 12, r = 0.8 लेकर
b = r × \(\frac{S y}{S x}\)
0.8 × \(\frac{12}{3}\)
= 3.2
∴ b = 3.2
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 90 – 3.2 (10)
= 90 – 32
∴ a = 58
अत: y की x पर की नियतसम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 58 + 3.2x
∴ ŷ = 58 + 3.2x

प्रश्न 4.
सामान्यत: कम वर्षा होती हो ऐसे एक विस्तार में अंतिम दस वर्ष दौरान हुई वर्षा और किसी फसल की प्रति एकर उपज की निम्न सूचना प्राप्त हुई है ।

इस जानकारी से यदि औसत वर्षा 20 सेमी हो, तो फसल की उपज का आकलन कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) = 18, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 970, Sx = 2, Sy = 38, r = 0.6
b = r × \(\frac{S y}{S x}\)
= 0.6 × \(\frac{38}{2}\)
= 0.6 × 19
= 11.4
∴ b = 11.4
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 970 – 11.4 (18)
= 970 – 205.2
= 764.8
∴ a = 764.8
अतः y की x पर की नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 764.8 + 11.4x
∴ ŷ = 764.8 + 11.4x
x = 20 रखने पर
ŷ = 764.8 + 11.4 (20)
= 764.8 + 228
∴ ŷ = 992.8

प्रश्न 5.
एक म्युच्युअल फंड कंपनी के अंतिम सात वर्ष में शेयर बाजार में किया विनियोग (लाख रु. में) और उसके विनियोग के छ मास के बाद उसकी बाजार किमत (लाख रु.) का विवरण निम्नानुसार है ।

इस जानकारी पर से y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए और किसी वर्ष में शेयर बाजार में 45 लाख रु. का विनियोग किया जाय तो छ मास के बाद उसकी बाजार मूल्य का आकलन कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) = 40, \(\overline{\mathrm{y}}\) = 50, Sx² = 100 ∴ Sx = 10
Sy² = 256, ∴ Sy = 16 Cov (x, y) = 80
b = \(\frac{{Cov}(x, y)}{S^2}\)
= \(\frac{80}{100}\)
= 0.8
∴ b = 0.8
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{y}}\)
50 – 0.8 (40)
= 50 – 32
a = 18
∴ a = 18
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 18 + 0.8x
∴ ŷ = 18 + 0.8x
अब x = 45 रखने पर
ŷ = 18 + 0.8 (45)
ŷ = 18 + 36
ŷ = 54 (हजार रु.)
किसी वर्ष में शेयर बाजार में 45 लाख (रु.) का विनियोग किया जाय तो छ मास के बाद उसकी बाजार किंमत 54 हजार (रु.) .. होने का आकलन है ।

विभाग – F

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
किसी वस्तु की माँग और उसके मूल्य की एकत्र की गई निम्न सूचना पर से माँग की मूल्य पर की नियत सम्बन्ध रेखा । प्राप्त कीजिए । यदि वस्तु का मूल्य 40 रु. हो, तो उसकी माँग कितनी होगी उसका आकलन कीजिए ।

उत्तर :
n = 9, \(\bar{x}=\frac{\Sigma x}{n}=\frac{335}{9}\) = 37.22, \(\overline{\mathrm{y}}=\frac{\Sigma \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{127}{9}\) = 14.11 । यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\)अपूर्णांक है । इसलिए संक्षिप्त विधि से गणना करेंगे । A = 37 और B = 14 लेकर नया चर u = x – A और v = y – B ∴ u = x – 37 और x = y – 14 लेकर निम्नानुसार सारणी तैयार करेंगे।
मूल्य = x मांग = y

b = byx = bvu = \(\frac{n \sum u v-\left(\sum u\right)\left(\sum v\right)}{n \sum u^2-\left(\sum u\right)^2}\)
= \(\frac{9(-15)-(2)(1)}{9(10)-(2)^2}\)
= \(\frac{-135-2}{90-4}\)
= \(\frac{-137}{86}\)
= – 1.59
∴ b = -1.59
\(\overline{\mathrm{x}}\), \(\overline{\mathrm{y}}\) और b के मान a के सूत्र में रखने पर
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 14.11 – (-1.59) 37.22
= 14.11 + 59.18
a = 73.29
∴ a = 73.29
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 73.29 – 1.59x
∴ ŷ = 73.29 – 1.59x
अब x = 40 रखने पर
ŷ = 73.29 – 1.59 (40)
= 73.29 – 63.6
ŷ = 9.69 (सौ इकाई) यदि मूल्य 40 (रु.) हो, तो माँग 9.69 (सौ इकाई) होगी ।

प्रश्न 2.
आठ कर्मचारियों को यंत्र पर कार्य करने का अनुभव (वर्ष में) और उसका मूल्य 100 इकाई में उत्पादित की गई दोष मुक्त इकाई के आधार से प्राप्त विवरण निम्नानुसार है ।

इस जानकारी से देखाव मूल्य की अनुभव पर की नियतसंबंध रेखा प्राप्त कीजिए और यदि कारीगर का अनुभव 17 वर्ष हो, तो उसका देखाव मूल्य ज्ञात कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{125}{8}\) = 15.625, \(\overline{\mathrm{y}}=\frac{\Sigma \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{700}{8}\) = 87.5
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक है । इसलिए संक्षिप्त विधि से गणना करेंगे । A = 15 और B = 87 लेकर नया चर u = x – A = x – 15 और v = y – B = y – 87 लेकर निम्नानुसार सारणी बनायेंगे ।
कारीगर का अनुभव (वर्ष में) = x
देखाव मूल्य = y

= 0.90
∴ b = 0.90
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\) = 87.5 – 0.90 (15.625)
= 87.5 – 14.06
= 73.43
∴ a = 73.43
अत: y की x पर की नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 73.43 + 0.90x
∴ y = 73.43 + 0.90x
x = 17 रखने पर
∴ ŷ = 73.43 + 0.90 (17)
= 73.43 + 15.3
ŷ = 88.73
कारीगर का अनुभव 17 वर्ष हो, तो उसका देखाव 88.73 मूल्य होगा ।

प्रश्न 3.
फूटकर कार्य करके आय प्राप्त करते श्रमजीवी (मजदूर) परिवारों में से पाँच परिवार की प्रतिदिन आय (रु.) और उसका उपभोग खर्च (रु.) निम्नानुसार है ।

इस जानकारी से उपभोग खर्च की प्रतिदिन आय पर की नियत सम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए । यदि किसी परिवार की प्रतिदिन आय 500 रु. हो, तो उसका उपभोग खर्च का आकलन कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 5, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{2400}{5}\) = 480, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{1950}{5}\) = 390 यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) पूर्णांक है लेकिन प्रतिदिन आय = x को 100 से और उपभोग मूल्य = y का 10 से भाग दे सकते है । इसलिए संक्षिप्त विधि का उपयोग करेंगे । A = 500 और B = 400, Cx = 100, Cy = 10 लेकर u और v द्वारा पारिभाषित करेंगे ।
u = \(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{A}}{\mathrm{Cx}}=\frac{\mathrm{x}-500}{100}\), v = \(\frac{y-400}{10}\)

= 7.37 × 0.1
= 0.737
∴ b = 0.74
\(\overline{\mathrm{x}}\), \(\overline{\mathrm{y}}\) और b के मान a के सूत्र में रखने पर a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 390 – 0.74 (480)
= 390 – 355.2
a = 34.8
∴ a = 34.8
अत:: ŷ = a + bx
ŷ = 34.8 + 0.74x
∴ ŷ = 34.8 + 0.74x
अब x = 500 रखने पर
ŷ = 34.8 + 0.74 (500)
= 34.8 + 370
ŷ = 404.8 रु.
यदि प्रतिदिन आय 500 (रु.) हो, तो उपभोग-खर्च का अनुमान 404.8 रु. होगा ।

प्रश्न 4.
विज्ञापन अभियान की असर जानने के लिए एक पेढ़ी द्वारा निम्नानुसार सूचना एकत्रित की गई है ।

इस जानकारी से बिक्री की विज्ञापन खर्च पर से नियत सम्बन्ध रेखा ज्ञात कीजिए । जब विज्ञापन खर्च रु. 5,00,000 हो तब बिक्री का अनुमान कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\bar{x}=\frac{217}{8}\) = 27.125, \(\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}=\frac{58.1}{8}\) = 7.26
यहाँ \(\overline{\mathrm{x}}\) और \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक है । बिक्री को y से और विज्ञापन खर्च = x विज्ञापन के लिए A = 27 और B = 7.2 लेकर y को 0.1 से भाग देकर अपूर्णांक को पूर्णांक में रूपांतर करेंगे । u = \(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{A}}{\mathrm{Cx}}=\frac{\mathrm{x}-27}{1}\) और v = \(\frac{\mathrm{y}-7.2}{0.1}\) लेकर निम्नानुसार गणना करेंगे ।

= 0.125
∴ b = 0.13
अब a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 7.26 – 0.13 (27.125)
= 7.26 – 3.53
a = 3.73
∴ a = 3.73
अत: y की x पर की नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = 3.73 + 0.13x
∴ ŷ = 3.73 + 0.13x
अब x = 500000 में है । ∴ x = \(\frac{500000}{10000}\) = 50 रखेंगे ।
ŷ = 3.73 + 0.13 (50)
= 3.73 + 6.5
ŷ = 10.23 (करोड़ रु.)
जब विज्ञापन खर्च 500000 रु. होगा तब बिक्री 10.23 (करोड़ रु.) होगी ।

प्रश्न 5.
निर्माण क्षेत्र में आठ भिन्न-भिन्न कार्यरत कंपनीयों को एक वर्ष में प्राप्त कार्य की संख्या और उसके वार्षिक लाभ का विवरण निम्नानुसार है ।

इस जानकारी से वार्षिक लाभ की कार्य की संख्या पर का नियत सम्बन्ध रेखा ज्ञात कीजिए । समरेखीय नियत सम्बन्ध मोडल की विश्वसनीयता की जाँच कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ n = 8, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{56}{8}\) = 7, \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{4150}{8}\) = 518.75 । यहाँ \(\overline{\mathrm{y}}\) अपूर्णांक में है । कार्य की संख्या = x और वार्षिक लाभ = y लेंगे । y को 50 से भाग दे सकते है । इसलिए A = 7 और B = 500 लेकर नया चर u = \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{4150}{8}\) और v = \(\frac{y-B}{C y}=\frac{y-500}{50}\) लेकर निम्नानुसार गणना करेंगे ।

= 50 × 1.83
= 91.67
∴ b = 91.67
अब a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 518.75 – 91.67 (7)
= 518.75-641.69
= -122.94
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = -122.94 + 91.67
∴ ŷ = -122.94 + 91.67

= 0.97
∴ R² = 0.97
निर्णायकता गुणांक R² = 0.97 1 के समीप है । इसलिए नियत सम्बन्ध रेखा का पूर्वानुमान योग्य है ।

प्रश्न 6.
निम्न सूचना पर से y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा प्राप्त कीजिए और x = 30 के लिए y का आकलन कीजिए ।
n = 10, Σx = 250, Σy = 300, Σxy = 7900, Σx² = 6500
उत्तर :
n = 10, \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{250}{10}\) = 25, = 2y = \(\bar{y}=\frac{\Sigma y}{n}=\frac{300}{10}\) = 30
Σxy = 7900, Σx² = 6500 दिया है ।
b = \(\frac{n \Sigma x y-(\Sigma x)(\Sigma y)}{n \Sigma x^2-(\Sigma x)^2}\)
= \(\frac{10 \times 7900-(250)(300)}{10 \times 6500-(250)^2}\)
= \(\frac{79000-75000}{65000-62500}\)
= \(\frac{4000}{2500}\)
b = 1.6
∴ b = 1.6
अब a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 30 – 1.6 (25)
= 30 – 40
= -10
∴ a = -10
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = -10 + 1.6x
∴ ŷ = -10 + 1.6x
अब x = 30 रखने पर
ŷ = -10 + 1.6 (30)
= -10 + 48
ŷ = 38

प्रश्न 7.
एक सूचना के लिए निम्नानुसार परिमाण मिले है ।
n = 12, Σx = 30, Σy = 5, Σx² = 670, Σxy = 344
बाद में जाँच करने पर पता चला कि एक अवलोकन के युग्म (10, 14) के स्थान पर (11, 4) ले लिया गया था तो उपयुक्त मापों को सुधार कर y का x के प्रति नियत सम्बन्ध प्राप्त करो और x = 5 के लिए y का आकलन कीजिए ।
उत्तर :
यहाँ सही युग्म (10, 14) है, गलत युग्म (11, 4) है । सभी मापों को सुधारने पर
n = 12
Σx = 30 + 10 – 11 = 29
Σy = 5 + 14 – 4 = 15
\(\frac{29}{12}\) = 2.42
\(\frac{15}{12}\) = 1.25
Σx² = 670 + (10)² – (11)²
= 670 + 100 – 121 = 649
Σxy = 344 + (10)(14) – (11) (4)
= 344 + 140 – 44 = 440
अब b = \(\frac{n \Sigma x y-(\Sigma x)(\Sigma y)}{n \Sigma x^2-(\Sigma x)^2}\)
= \(\frac{12(440)-(29)(15)}{12(649)-(29)^2}\)
= \(\frac{5280-435}{7788-841}\)
= \(\frac{4845}{6947}\)
= 0.697
∴ b = 0.7
a = \(\overline{\mathrm{y}}\) – b\(\overline{\mathrm{x}}\)
= 1.25 – 0.7 (2.42)
= 1.25 – 1.69
= -0.44
∴a = -0.44
अत: y का x के प्रति नियत सम्बन्ध रेखा
ŷ = a + bx
ŷ = -0.44 + 0.7x
अब x = 5 रखने पर
ŷ = -0.44 + 0.7(5)
= -0.44 + 3.5
= 3.06
∴ ŷ = 3.06
x = 5 के लिए ŷ = 3.06 होगा ।