Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.2

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.2

प्रश्न 1.
एक संतुलित सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। निम्न घटनाएँ की संभावना ज्ञात करो।
(1) सभी बार छाप मिले
(2) एक भी बार छाप न मिले
(3) कम से कम एक बार छाप मिले
(4) एक से अधिक बार कांटा मिले
(5) अधिक से अधिक एक बार छाप मिले
(6) दो से कम बार छाप मिले
(7) छाप और काँटा बारी बारी से मिले
(8) काँटा की संख्या छाप से अधिक बार मिले।
उत्तर :
एक संतुलित सिक्के को तीन बार उछालने पर निम्नानुसार निदर्श अवकाश प्राप्त होगा।
U = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
∴ परस्पर निवारक, निःशेष और समसंभावी परिणामों की कुल संख्या n = 8

(1) सभी बार छाप मिले उसे घटना A₁ कहे तो A₁ के सानुकूल परिणाम HHH अर्थात् m₁ = 1 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₁) = \(\frac{m_1}{n}=\frac{1}{8}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{8}\).

(2) एक भी बार छाप न मिले उसे घटना A₂ कहे तो A₂ के सानुकूल परिणाम TTT अर्थात् m₂ = 1 संभावना की गाणितिक परिभाषा अनुसार
P(A₂) = \(\frac{m_2}{n}=\frac{1}{8}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{8}\).

(3) कम से कम एक बार छाप मिले उसे घटना A₃ कहे तो A₃ के लिए सानुकूल परिणाम HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT,TTH
इसलिए A₃ के सानुकूल परिणाम m₃ = 7 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₃) = \(\frac{m_3}{n}=\frac{7}{8}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{7}{8}\).

(4) एक से अधिक बार काँटा मिले उसे घटना A₄ कहे तो A₄ के लिए सानुकूल परिणाम HTT, THT, TTH, TTT
इसलिए A₄ के सानुकूल परिणाम m₄ = 4 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₄) = \(\frac{m_4}{n}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{2}\).

(5) अधिक से अधिक एक बार छाप मिले उसे घटना A₅ कहे तो A₅ के लिए सानुकूल परिणाम HTT, THT, TTH, TTT
इसलिए A₅ के सानुकूल परिणाम m₅ = 4 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₅) = \(\frac{m_s}{n}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{2}\).

(6) दो से कम बार छाप मिले उसे घटना A₆ कहे तो A₆ के लिए सानुकूल परिणाम {HTT, THT, TTH, TTT}
इसलिए A₆ के सानुकूल परिणाम m₆ = 4 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₆) = \(\frac{m_6}{n}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{2}\).

(7) छाप और काँटा बारी बारी से मिले उसे घटना A₇ कहे तो A₇ के लिए सानुकूल परिणाम HTH, THT
इसलिए A₇ के सानुकूल परिणाम m₇ = 2 संभावना की गाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₇) = \(\frac{m_7}{n}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{4}\).

(8) काँटा की संख्या छाप से अधिक बार मिले उसे घटना A₈ कहे तो A₈ के लिए सानुकूल परिणाम HTT, THT, TTH, TTT
इसलिए A₈ के सानुकूल परिणाम m₈ = 4 संभावना को शाणितिक परिभाषा के अनुसार
P(A₈) = \(\frac{m_8}{n}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
मांगी गई संभावना है = \(\frac{1}{2}\).

प्रश्न 2.
दो संतुलित पासे को एकसाथ उबला जाता है, तो निष्क घटनाओं की संभावना ज्ञात कीजिए।
(1) पासा पर मिलते अंकों का योग 6 आये
(2) पासा पर मिलते अंकों का योग 10 से अधिक न हो
(3) पासा पर मिलते अंकों का योग 3 का गुणक हो
(4) पासा घर शिलते अंकों का गुणाकार 12 हो
उत्तर :
दो संतुलित पासे को एकसाथ उछालने का निदर्श – अवकाश निम्नानुसार होगा :
U = {(i, j), i, j= 1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ कुल परिणामों की संख्या n = 36 होगा।

(1) पासा पर मिलते अंकों का योग 6 आये उसे घटना A₁ कहे तो A₁ के लिए सानुकूल परिणाम (1, 5), (2, 4 ), (3, 3 ), (4 ,2), (5, 1)
इसलिए A₁ के सानुकूल परिणाम m₁ = 5
घटना A₁ की संभावना
P(A₁) = \(\frac{m_1}{n}=\frac{5}{36}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{5}{36}\).

(2) पासा पर मिलते अंकों का योग 10 से अधिक न हो उसे घटना A₂ कहे तो A₂ के लिए सानुकूल परिणाम {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6,2), (6, 3), (6, 4)} इसलिए A₂ के सानुकूल परिणाम m₂ = 33
घटना A₂ की संभावना
P(A₂) = \(\frac{m_2}{n}=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{11}{12}\).

(3) पासा पर मिलते अंकों का योग 3 का गुणक हो उसे घटना A₃ कहे तो A₃ के लिए सानुकूल परिणाम {(1, 2 ), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
इसलिए घटना A₃ के सानुकूल परिणाम m₃ = 12 घटना A₃ की संभावना
P(A₃) = \(\frac{\mathrm{m}_3}{\mathrm{n}}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{3}\).

(4) पासा पर मिलते अंकों का गुणाकार 12 हो उसे घटना A₄ कहे तो A₄ के लिए सानुकूल परिणाम {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}
इसलिए घटना A₄ के सानुकूल परिणाम m₄ = 4
घटना A₄ की संभावना
P(A₄) = \(\frac{m_4}{n}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac {1}{9}\).

प्रश्न 3.
दो शिशुओंवाले परिवारों में से एक परिवार यादृच्छिक रीति से पसंद किया जाता है। उस परिवार के दो शिशुओं में से
(1) एक शिशु लड़की और एक शिशु लड़का हो
(2) कम से कम एक शिशु लड़की हो उसकी प्रायिकता का परिकलन कीजिए। (सूचना : शिशु लड़का हो या लड़की उसकी संभावना एकसमान है, ऐसी धारणा की गई है।)
उत्तर :
यहाँ B = लड़का और G = लड़की है। दो शिशुओंवाले परिवार में से एक परिवार याद्दच्छिक रूप से चुना गया है।
∴ इस घटना के कुल परिणाम निदर्श अवकाश U = n = {BB, BG, GB, GG} = 4
∴ n = 4

(1) एक शिशु लड़की और एक शिशु लड़का हो उसे घटना A कहे तो घटना A के सानुकूल परिणाम m = {BG, GB}
∴. m = 2
घटना A की संभावना
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{2}\).

(2) कम से कम एक शिशु लड़की हो उसे घटना B कहे तो घटना B के सानुकूल परिणाम m = {BG, GB, GG} = 3
∴ m = 3
घटना B की संभावना
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{3}{4}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{4}\).

प्रश्न 4.
प्रथम 100 प्राकृतिक संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक रीति से चुनी जाती है तो यह संख्या 7 से निःशेष विभाज्य हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
प्रथम 100 प्राकृतिक संख्या में से एक संख्या चुनने का निदर्श अवकाश के कुल परिणाम n = ¹⁰⁰C₁ = 100 ∴ n = 100
चुनी गई संख्या 7 से निःशेष विभाज्य हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम
A = {7, 14….98} = 14 ∴ m = 14
घटना A की संभावना
∴ P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}\) = 2 अथवा 0.14
मांगी गई संभावना = \(\frac{7}{50}\) अथवा 0.14.

प्रश्न 5.
एक संख्या चयन करने के यादृच्छिक प्रयोग का निदर्श अवकाश U = {1, 2, 3……..120} है। इस निदर्श अवकाश के परिणाम समसंभावी है। यह संख्या से याद्दच्छिक रूप से एक संख्या चयन किया जाय तो,
(1) 3 के गुणक हो,
(2) 3 के गुणक न हो,’
(3) 4 के गुणक हो,
(4) 4 के गुणक न हो,
(5) 3 और 4 दोनों के गुणक होने की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
1 से 120 तक की संख्याओं के घटकों में से एक घटक का चुनाव किया जाता है इस घटना के निदर्श अवकाश के कुल प्राथमिक परिणाम n = ¹²⁰C₁ = 120 ∴ n = 120

(1) 3 के गुणक हो उसे घटना A₁ कहे तो A₁ के लिए सानुकूल परिणाम
A₁ = {3, 6, …….. 120} = m₁ = \(\frac{120}{3}\) = 40
∴ m₁ = 40, A₁ की संभावना
∴ P(A₁) = \(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{n}}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{3}\).

(2) 3 के गुणक न हो अर्थात् A₁ की पूरक घटना A₁‘ बनेगी उसके सानुकूल परिणाम = (120 – 40) = 80
∴ P(A₁‘) = 1 – P(A₁) = 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) अथवा
P(A₁‘) – \(\frac{80}{120}\) ∴ P(A₁‘) = \(\frac{2}{3}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{2}{3}\).

(3) 4 के गुणक हो उसे घटना A₂ कहे तो A₂ के सानुकूल परिणाम A₂ = {4, 8, 1……. 120} = m₂ = \(\frac{120}{4}\) = 30 m₂ = 30,
A₂ की संभावना
∴ P(A₂) = \(\frac{\mathrm{m}_2}{\mathrm{n}}=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{4}\).

(4) 4 के गुणक न हो अर्थात् A₂ की पूरक घटना A₂‘ बनेगी उसके सानुकूल परिणाम = (120 – 30) = 90
∴ P(A₂‘) = 1 – P(A₂) = 1 – \(\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
अथवा P(A₂‘) = \(\frac{90}{120}\) ∴ P(A₂‘) = \(\frac{3}{4}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{4}\).

(5) 3 और 4 के गुणक हो उसे घटना A₁∩A₂ कहे तो A₁∩A₂ के लिए सानुकूल परिणाम 3 × 4 = 12 का गुणक m = \(\frac{120}{12}\) = 10 ∴ m = 10
∴ P(A₁∩A₂) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\).

प्रश्न 6.
RANDOM शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग से बनते रचना में R प्रथम और M अंतिम स्थान पर आये उसकी संभावना ज्ञात करो ।
उत्तर :
यहाँ RANDOM शब्द में कुल 6 अक्षर है। सभी अक्षरों का उपयोग करके कुल ⁶P₆ = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 कुल परिणाम n = 720.

R प्रथम और m अंतिम स्थान पर हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम R को प्रथम स्थान पर ¹P₁ और M को अंतिम स्थान पर ¹P₁ और शेष 4 अक्षरों का गठन ⁴P₄ रीति से होगा । गणना के गुणाकार के मूलभूत सिद्धांत अनुसार R प्रथम और M अंतिम स्थान पर आये ऐसे गठन ¹P₁ × ¹P₁ × ⁴P₄ इसलिए घटना A के सानुकूल परिणाम
m = ¹P₁ × ¹P₁ × ⁴P₄ = 1! × 1! × 4! = 1 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24
घटना A की संभावना
P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac {1}{30}\).

प्रश्न 7.
ORANGE शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग से बनते शब्दों में स्वर प्रथम, तीसरा और छठा स्थान पर आये उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
यहाँ ORANGE शब्द में कुल 6 अक्षर है। सभी अक्षरों के उपयोग करके कुल ⁶P₆ = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 कुल परिणाम = 720 ∴ n = 720.

स्वर प्रथम, तीसरा और छठ्ठा स्थान पर आये उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम तीन स्वर तीन स्थान पर ³P₃ और शेष व्यंजन तीन स्थान पर ³P₃ गठन होगा । ³P₃ × ³P₃ = 3! × 3!
इसलिए घटना A के सानुकूल परिणाम m = 3! × 3! = 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 6 × 6 = 36
∴ m = 36 घटना A की संभावना
P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{36}{720}=\frac{1}{20}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{20}\).

प्रश्न 8.
एक परिवार के पाँच सदस्य पति, पत्नी और उसके तीन बच्चे फेमिली तस्वीर के लिए एक पंक्ति में यादृच्छिक रीति से गठित किया जाता है। पति और पत्नी एकसाथ बैठे तो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
परिवार के पाँच सदस्यों को गठित करने के कुल परिणाम ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ∴ n = 120. पति और पत्नी एकसाथ बैठक ले उसे घटना A कहे तो पति और पत्नी को एक ग्रुप समझे तो 4 ग्रुप बनेंगे जिसे ⁴P₄ = 4! और पति-पत्नी का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से ²P₂ = 2! से होगा ।
∴ घटना A के सानुकूल परिणाम m = ⁴P₄ × ²P₂ = 4! × 2! = 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 ∴ m = 48
घटना A की संभावना
P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{2}{5}\).

प्रश्न 9.
एक कार्यक्रम में 7 वक्ता A,B,C, D, E, F को भाषण देने के लिए यादृच्छिक रीति से आमंत्रित किया गया है। वक्ता A के बाद तुरंत B वक्ता को भाषण देना हो तो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
एक कार्यक्रम में 7 वक्ता A, B, C, D, E, F को भाषण देने के लिए आमंत्रित करने के कुल परिणाम ⁷P₇ = 7! =7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5040 ∴ n = 5040.

A के बाद B को भाषण देने के लिए आमंत्रित किया जाय उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम A को ¹P₁ और शेष 6 वक्ता को ⁶P₆ रीति से गठित कर सकते है । गठन के प्रकार ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6!
A के सानकल परिणाम m = 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 m = 720
घटना A की संभावना
P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{720}{5040}=\frac{1}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{7}\).

प्रश्न 10.
लीप वर्ष में फरवरी मास में 5 सोमवार होने की संभावना ज्ञात करो।
उत्तर :
लीप वर्ष में 366 दिन होते है जिसमें फरवरी मास में 29 दिन होते है जिसमें 4 सप्ताह (4 × 7 = 28) और एक दिन अधिक होता है।
4 सप्ताह में 4 सोमवार आयेंगे 1 दिन शेष रहेगा। इसमें सप्ताह में से कोई भी वार आयेगा इस प्रयोग का निदर्श अवकाश
U = {रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार} कुल परिणाम n = 7
सोमवार हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम 1 होगा अर्थात् m = 1
घटना A की संभावना
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{1}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{7}\).

प्रश्न 11.
लीप वर्ष न हो ऐसे वर्ष में 53 शुक्रवार होने की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
लीप वर्ष न हो ऐसे वर्ष में 365 दिन होते है जिसमें 52 सप्ताह पूर्ण होते है (52 × 7 = 364 दिन) और 1 दिन अधिक होगा। एक सप्ताह में एक वार एक बार आयेगा अर्थात् 52 शुक्रवार पूर्ण होंगे और एक दिन निम्नानुसार होगा उसका निदर्श अवकाश
U = {रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार} इसलिए कुल परिणाम n = 7 होगा।
लिप वर्ष न हो ऐसे वर्ष में 53 शुक्रवार हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम 1 होगा अर्थात् m = 1
घटना A की संभावना
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{1}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{7}\).

प्रश्न 12.
किसी वर्ष के अगस्त मास में 5 मंगलवार होने की संभावना ज्ञात करो।
उत्तर :
किसी वर्ष के अगस्त मास में 31 दिन होते है जिसमें 7 × 4 = 28 दिन पूर्ण होते है और शेष (31 – 28) = 3 दिन शेष बचेंगे । सप्ताह में सात दिन होते है । सप्ताह में सात दिन में से कोई भी वार आयेगा उसके निदर्श अवकाश के कुल परिणाम 7 होंगे ∴ n = 7
U = {रवि-सोम-मंगल, सोम-मंगल-बुध, मंगल-बुध-गुरु, बुध-गुरु-शुक्र, गुरु-शुक्र-शनि, शुक्र-शनि-रवि, शनि-रवि-सोम}
5 मंगलवार हो उसे घटना A कहे तो A के लिए स्पानुकूल परिणाम के लिए तीन समूह होंगे रवि-सोम-मंगल, सोम-मंगल-बुध, मंगलबुध-गुरु, अर्थात् m = 3 घटना
A की संभावना
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{3}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{7}\).

प्रश्न 13.
एक पार्टी में 4 युगल ( पति-पत्नी) हिस्सा लेते है। इन व्यक्तियों में से दो व्यक्तियों को चुना जाय तो चुने गये दो व्यक्ति में
(1) वे पति-पत्नी हो
(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो
(3) एक पुरुष व एक स्त्री हो परंतु वे पति-पत्नी न हो उन घटनाओं की संभावना का परिकलन कीजिए।
उत्तर :
4 युगल हिस्सा लेते है अर्थात् 8 व्यक्ति में से दो व्यक्तियों को याद्दच्छिक रीति से पसंद करने के निदर्श अवकाश
n = ⁸C₂ = \(\frac{8 \times 7}{2 \times 1}\) = 28 ∴ n = 28

(1) दोनों व्यक्ति पति-पत्नी हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम ∴ m = ⁴C₁ = 4 ∴ m = 4
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{4}{28}\)
∴ P(A) = \(\frac{1}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{1}{7}\).

(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो उसे घटना B कहे तो B के लिए सानुकूल परिणाम m = ⁴C₁ × ⁴C₁ (4 पुरुष में से एक पुरुष और 4 स्त्रियों में से 1 स्त्री चुनी जाय) m = 4 × 4 = 16 m = 16
∴ P(B) = \(\frac{m}{n}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{4}{7}\).

(3) एक पुरुष और एक स्त्री हो परंतु वे पति-पत्नी न हो उसे घटना C कहे तो A = दोनों पति-पत्नी हो, B = एक पुरुष और एक स्त्री हो
∴ P(C) = P(B) – P(A) = \(\frac{4}{7}-\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{7}\).

प्रश्न 14.
एक फैक्टरी में 8 कामदार नौकरी करते है जिसमें से 3 कामदारों की कार्यक्षमता उत्तम और शेष सभी कामदारों की कार्यक्षमता
मध्यम है।इन आठ कामदारों में से 2 कामदारों का याद्दच्छिक रीति से चुनाव किया जाता है। चुने गए कामदारों में
(1) दोनों कामदार की कार्यक्षमता उत्तम हो
(2) दोनों कामदार की कार्यक्षमता मध्यम हो
(3) एक कामदार की कार्यक्षमता उत्तम और एक कामदार की कार्यक्षमता मध्यम हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
एक फैक्टरी के 8 कामदारों में से 2 कामदारों का चुनाव का निदर्श अवकाश n = ⁸C₂ = \(\frac{8 \times 7}{2 \times 1}\) = 28 ∴ n = 28

(1) दोनों कामदारों की कार्यक्षमता उत्तम हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम उत्तम कामदारों की संख्या 3 है। 3 में से 2 का चयन m = ₃C₂
∴ m = \(\frac{3 \times 2}{2 \times 1}\) = 3 m = 3
∴ P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{3}{28}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{28}\)

(2) दोनों कामदारों की कार्यक्षमता मध्यम हो उसे घटना B कहे तो B के लिए सानुकूल परिणाम मध्यम कामदारों की संख्या 5 है। 5 में से 2
का चयन m = ₅C₂ = \(\frac{5 \times 4}{2 \times 1}\) ∴ m = 10
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{5}{14}\)

(3) एक कामदार की कार्यक्षमता उत्तम और एक कामदार की कार्यक्षमता मध्यम हो उसे घटना C कहे तो C के लिए सानुकूल परिणाम 3 उत्तम में से 1 का चयन ₃C₂ और 5 मध्यम में से 1 का चयन ₅C₁ होगा । सानुकूल परिणाम m = ₃C₂ × ₅C₂ = 3 × 5 = 15
∴ m = 15
∴ P(C) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{15}{28}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{15}{28}\)

प्रश्न 15.
अच्छी तरह से फेंटे हुए 52 पत्तों के एक ढेर में से दो पत्ता यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो
(1) दोनों पत्ते भिन्न – भिन्न रंग के हो
(2) दोनों पत्ते चित्रवाला हो
(3) दोनों में से एक पत्ता राजा का हो उसकी संभावना ज्ञात करो।
उत्तर :
अच्छी तरह से फेरे हुए 52 पत्तों में से 2 पत्तों के चयन का निदर्श अवकाश n = ₅₂C₂ = \(\frac{52 \times 51}{2 \times 1}\) = 1326 ∴ n = 1326

(1) दोनों पत्ते भिन्न भिन्न रंग के हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम 52 पत्तों में 26 पत्ते काले रंग के, 26 पत्ते लाल रंग होते
है उसमें से 1 काले और 1 लाल रंग के होने के सानुकूल परिणाम m = ²⁶C₁ × ²⁶C₁ = 26 × 26 = 676 ∴ m = 676
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{676}{1326}=\frac{26}{51}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{26}{51}\).

(2) दोनों पत्ते चित्रवाला हो उसे घटना B कहे तो B के लिए सानुकूल परिणाम m = ¹²C₂ = \(\frac{12 \times 11}{2 \times 1}\) = 66
(चित्रवाले 4 गुलाम, 4 बेगम, 4 राजा होते है) ∴ m = 66
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{66}{1326}=\frac{11}{221}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{11}{221}\).

(3) दोनों पत्तों में एक पत्ता बादशाह का हो उसे घटना C कहे तो C के लिए सानुकूल परिणाम बादशाह 4 होते है। उसमें से 1 बादशाह ₄C₁ और शेष 48 पत्तों में से एक पत्ता ₄₈C₁ रीति से चयन होगा। इसके लिए सानुकूल परिणाम m = ₄C₁ × ₄₈C₁ = 4 × 48 ∴ m = 192
∴ P(C) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{192}{1326}=\frac{32}{221}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{32}{221}\).

प्रश्न 16.
10 बल्ब के एक संदुक में 3 बल्ब दोषयुक्त है। इस संदुक से 2 बल्ब चयन किया जाता है। इन दो बल्बों को एक रुम के दो बल्बो के होल्डर में लगाया जाता है, तो वीज सप्लाय शुरु करने से रुम में उजाला हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
10 बल्ब में से 2 बल्ब याद्दच्छिक रूप से चुनने का निदर्श अवकाश n = ₁₀C₂ = \(\frac{10 \times 9}{2 \times 1}\) = 45 ∴ n = 45
वीज सप्लाय करने से रुम में उजाला हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम के लिए निम्नानुसार विकल्प होंगे। दोनों बल्ब अच्छा (दोष मुक्त) हो अथवा एक बल्ब अच्छा और एक खराब (दोष युक्त) हो तो रुम में उजाला होगा। उजाला होने की घटना के सानुकूल परिणाम m = ₇C₂ + ₃C₁ × ₇C₁
m = \(\frac{7 \times 6}{2 \times 1}\) + 3 × 7 = 21 + 21 ∴ m = 42…
∴ P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{42}{45}=\frac{14}{15}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{14}{15}\)

प्रश्न 17.
यादृच्छिक प्रयोग के निदर्श अवकाश की कोई दो घटना A और B के लिए P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 और P(A∩B) = 0.15 हो, तो
(1) P(A¹)
(2) P(B – A)
(3) P(A∩B¹)
(4) P(A¹∩B¹)
(5) P(A¹∪B¹) ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A∩B)= 0.15 दिया है इसलिए

(1) P(A¹)= 1 – P(A) = 1 – 0.6 = 0.4
मांगी गई संभावना = 0.4

(2) P(B – A) = P(A¹∩B) = P(B) – P(A∩B) = 0.5 – 0.15 = 0.35
मांगी गई संभावना = 0.35

(3) P(A∩B¹) = P(A – B) = P(A)- P(A∩B) = 0.6 – 0.15 = 0.45
मांगी गई संभावना = 0.45

(4) P(A¹∩B¹) = P(A∪B) = 1 – P(A∪B)
P(A∪B) = P(A) + P(B)- P(A∩B) = 0.6+ 0.5-0.15 = 1.1 -0.15 = 1.1 – 0.15
∴ P(A∪B) = 0.95
∴ P(A¹∩B¹) = 1 – P(A∪B) = 1 – 0.95 = 0.05
मांगी गई संभावना = 0.05

(5) P(A¹∪B¹) = P(A∩B) = 1 – P(A∩B) = 1 – 0.15 = 0.85
मांगी गई संभावना = 0.85

प्रश्न 18.
यादृच्छिक प्रयोग के निदर्श अवकाश की दो घटनाओं A और B के लिए P(A¹) = 2P (B¹) = 3P(A∩B)= 0.6 हो, तो अंतर घटनाएँ A – B और B – A की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
(A’) = 2P(B’) =3P(A∩B) = 0.6 दिया है।

P(A’) = 0.6
अब P(A) = 1 – P(A’)
= 1 – 0.6
= 0.4

2P(B’) = 0.6
P(B’) = \(\frac{0.6}{2}\)
P(B’) = 0.3
P(B) = 1 – P(B¹)
= 1 – 0.3
= 0.7

3P(A∩B) = 0.6
P(A∩B) = \(\frac{0.6}{3}\)
P(A∩B) = 0.2

अंतर घटना A – B की संभावना ∴ P(A – B) = P(A) – P(A∩B)- 0.4 – 0.2 = 0.2
अंतर घटना B – A की संभावना ∴ P(B – A) = P(B)- P(A∩B)= 0.7 -0.2 = 0.5
मांगी गई संभावना P(A – B) = 0.2 और P(B – A) = 0.5