Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 4 लक्ष Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 4 लक्ष Ex 4.2
प्रश्न 1.
सारणी की रीति से निम्न के मूल्य प्राप्त कीजिए।
(1) \(\lim _{x \rightarrow 1} 2 x+1\)
(2) \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x-3}{x-3}\)
(3) \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2+3 x-14}{x-2}\)
(4) \(\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^2+9 x+9}{x+3}\)
(5) \(\lim _{x \rightarrow 2} x\)
उत्तर :
(1) \(\lim _{x \rightarrow 1} 2 x+1\) यहाँ f(x) = 2x + 1 है। हम 1 के अधिक नजदीक की x की किंमत लेकर निम्नानुसार सारणी तैयार करेंगे।
सारणी पर से स्पष्ट है कि जब x का मूल्य बढ़ाने या घटाने पर 3 के अधिक पास में आती है तब f(x) = 3 के पास में जाती है अर्थात् जब x → 1 हो तब f(x) → 3
\(\lim _{x \rightarrow 1^1} 2 x+1=3\)
(2) \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x-3}{x-3}\) को गणना की सरलता के लिए फलन f(x)\(\frac{x^2-2 x-3}{x-3}\) के अंश और हर के सामान्य अवयवx-3 दूर करने के बाद लक्ष का मूल्य प्राप्त कर सकते है।
सारणी पर से स्पष्ट है कि जब x का मूल्य में कमी वृद्धि करने पर के अधिक समीप लाया जाय तब f(x) का मूल्य 4 के समीप जाता है अर्थात् कि जब x → 3 हो तब f(x) → 4
∴ \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x-3}{x-3}=4\)
(3) (3) \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2+3 x-14}{x-2}\), (3) \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2+3 x-14}{x-2}\) को गणना की सरलता के लिए फलन f(x) के अंश और हर के सामान्य अवयव x → 2 को दूर करने के बाद लक्ष का मूल्य प्राप्त कर सकते है।
सारणी पर से स्पष्ट है कि जब x का मूल्य बढ़ाने या घटाया जाय तब लक्ष की किंमत 11 के पास आती है। अर्थात् x → 2 हो तब f(x) → 11
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^2+3 x-14}{x-2}=11\)
(4) (4) \(\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^2+9 x+9}{x+3}\), f(x) = \(\frac{2 x^2+9 x+9}{x+3}\) को गणना की सरलता के लिए फलन f(x) के अंश और हर के सामान्य अवयव x + 3 को दूर करने के बाद लक्ष का मूल्य प्राप्त कर सकते है।
सारणी पर से स्पष्ट है कि जब x का मूल्य में कमी-वृद्धि करने से लक्ष का मूल्य-3 के पास आता है। अर्थात् x → -3 हो तब f(x) = -3
∴ \(\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^2+9 x+9}{x+3}=-3\)
(5) \(\lim _{x \rightarrow 2} x\) यहाँ f(x) = x है। हम 2 के अधिक नजदीक की x की किंमत लेकर निम्नानुसार सारणी तैयार करेंगे।
सारणी पर से स्पष्ट है कि जब x का मूल्य में कमी वृद्धि करने से लक्ष का मूल्य 2 के पास आता है। अर्थात् x → 2 हो तब f(x) = 2
\(\lim _{x \rightarrow 2} x=2\)
प्रश्न 2.
सारणी की रचना करके \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2}{x-3}\) अस्तित्व नहीं रखता ऐसा बताइए।
उत्तर :
यहाँ f(x) = \(\frac{2}{x-3}\) दिया है। हम 3 के अधिक नजदीक की x की किंमत लेकर निम्न सारणी बनायेंगे।
सारणी पर से स्पष्ट होता है कि जब x का मूल्यों में कमी वृद्धि करके 3 के नजदीक लाया जाय तब f(x) का मूल्य किसी निश्चित संख्या की ओर जाते नहि है अर्थात् x → 3 हो तब f(x) किसी एक निश्चित किंमत को अनुलक्षित नहि है। यह फलन अस्तित्व रखता नहि है।
∴ \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2}{x-3}\)
प्रश्न 3.
यदि y = \(\frac{x^2+x-6}{x-2}\) हो, तो सारणी की विधि से सिद्ध कीजिए की जब x → 2 हो तब y → 5 है।
उत्तर :
f(x) = \(\frac{x^2+x-6}{x-2}\) को गणना की सरलता के लिए फलन f(x) के अंश और हर के सामान्य अवयव (x – 2) को दूर करने के बाद लक्ष का मूल्य प्राप्त कर सकते है।
सारणी पर से स्पष्ट होता है कि जब x के मूल्यों में कमी वृद्धि करने से 2 के नजदीक लाया जाय तब f(x) का मूल्य किसी निश्चित संख्या की ओर जाता है, लक्ष का मूल्य 5 के पास जाता है। अर्थात् x → 2 हो तब f(x) = 5 इसलिए x – 2 हो तब y → 5 होगा।
∴ y = \(\frac{x^2+x-6}{x-2}\) = 5
प्रश्न 4.
यदिy = 5 – 2x हो, तो सारणी की विधि से सिद्ध कीजिए की जब x → -1 हो तब y → 7 होगा।
उत्तर :
f(x) = 5 – 2x के लिए -1 के नजदीक की x की किंमतों को लेकर निम्नानुसार सारणी बनायेंगे।
सारणी पर से स्पष्ट होता है कि जबx के मूल्यों में कमी वृद्धि करने से-1 के पास में लाया जाता है तब f(x) का मूल्य 7 के पास आता है। अर्थात् x → -1 हो तब f(x) = 7 इसलिए x → -1 हो तब y → 7 होगा। y = 5 – 2x = 7 होगा।