Gujarat Board GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 7 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Ex 6.4

1. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ શક્ય છે?
(i) 2 સેમી, ૩ સેમી, 5 સેમી
(ii) ૩ સેમી, 6 સેમી, 7 સેમી
(iii) 6 સેમી, ૩ સેમી, 2 સેમી
ઉત્તરઃ
(i) 2 સેમી, 3 સેમી, 5 સેમી
2 સેમી + 3 સેમી = 5 સેમી અને ત્રીજી બાજુનું માપ પણ 5 સેમી છે.
∴ અહીં બે બાજુનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ જેટલો છે.
ત્રિકોણ રચાવા માટે કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે થવો જોઈએ.
∴ આ માપ ધરાવતો કોઈ ત્રિકોણ હોઈ ન શકે. (અશક્ય છે.)

(ii) 3 સેમી, 6 સેમી, 7 સેમી
3 સેમી + 6 સેમી = 3 સેમી અને 9 સેમી > 7 સેમી
3 સેમી + 7 સેમી = 10 સેમી અને 10 સેમી > 6 સેમી
6 સેમી + 7 સેમી = 13 સેમી અને 13 સેમી > 3 સેમી
અહીં ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે છે.
∴ આ માપ ધરાવતો ત્રિકોણ શક્ય છે.

(iii) 6 સેમી, 3 સેમી, 2 સેમી
3 સેમી + 2 સેમી = 5 સેમી અને 5 સેમી < 6 સેમી
અહીં ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં ઓછો છે.
∴ આ માપ ધરાવતો ત્રિકોણ ન હોઈ શકે. (અશક્ય છે.)

2. ΔPQRના અંદરના ભાગમાં કોઈ પણ બિંદુ O લો.

(i) શું OP + OQ > PQ છે?
(ii) શું OQ + OR > QR છે?
(iii) શું OR + OP > RP છે?
ઉત્તરઃ

(i) હા, OP + OQ > PQ.
જુઓ (overline{mathrm{OP}}), (overline{mathrm{OQ}}) અને (overline{mathrm{PQ}}) વડે ΔOPQ બને છે.
∴ ΔOPQમાં બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય જ.

(ii) હા, OQ + OR > QR.
જુઓ (overline{mathrm{OQ}}), (overline{mathrm{OR}}) અને (overline{mathrm{QR}}) વડે ΔROQ બને છે.
∴ ΔROQમાં બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય જ.

(iii) હા, OR + OP > RP.
જુઓ (overline{mathrm{OR}}), (overline{mathrm{OP}}) અને (overline{mathrm{RP}}) વડે ΔROP બને છે.
∴ ΔROPમાં બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય જ.

3. AABCની મધ્યમા (overline{mathrm{AM}}) છે. AB + BC + CA > 2AM થાય છે?
(ΔABM અને ΔAMCની બાજુઓને ધ્યાનમાં લો.)

ઉત્તરઃ
અહીં ધ્યાનમાં રાખીએ કે કોઈ પણ ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો એ ત્રીજી બાજૂના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
ΔABMમાં AB + BM > AM … (1)
ΔACMમાં CA + MC > AM … (2)
પરિણામ (1) અને પરિણામ (2)નો સરવાળો કરતાં,
(AB + BM) + (CA + MC) > AM + AM
∴ AB + BM + CA + MC > 2AM
∴ AB + (BM + MC) + CA > AM
∴ AB + BC + CA > 2AM (∵ BM + MC = BC).

4. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે.
AB + BC + CD + DA > AC + BD થાય છે?

ઉત્તરઃ
અહીં ધ્યાનમાં રાખીએ કે કોઈ પણ ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજૂના માપ કરતાં કે વધારે હોય છે.
ΔABCમાં AB + BC > AC … (1)
ΔACDમાં CD + DA > AC … (2)
પરિણામ (1) અને પરિણામ (2)નો સરવાળો કરતાં,
AB + BC + CD + DA > AC + AC
∴ AB + BC + CD + DA > 2AC … (3)
હવે, ΔABDમાં AB + DA > BD … (4)
ΔBCDમાં BC + CD > BD … (5)
પરિણામ (4) અને પરિણામ (5)નો સરવાળો કરતાં,
AB + DA + BC + CD > BD + BD
∴ AB + BC + CD + DA > 2BD … (6)
પરિણામ (3) અને (6)નો સરવાળો કરતાં,
2(AB + BC + CD + DA) > 2AC + 2BD
∴ 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)
∴ AB + BC + CD + DA > AC + BD (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)

5. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે.
AB + BC + CD +DA < 2(AC+ BD) થાય છે?
ઉત્તરઃ

આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
Δ OABમાં OA + OB > AB … (1)
Δ OBCમાં OB + OC > BC … (2)
Δ OCDમાં OC + OD > CD … (3)
Δ OADમાં OA + OD > DA … (4)
પરિણામ (1), (2), (3), (4)નો સરવાળો લેતાં,
OA + OB + OB + OC + OC + OD + OA + OD > AB + BC + CD + DA
∴ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
∴ 2[(OA + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA
∴ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
અર્થાતૂ AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)

6. એક ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ 12 સેમી અને 15 સેમી છે. ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કયા બે માપની વચ્ચે આવવી જોઈએ?
ઉત્તરઃ
(i) આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો એ ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
હવે ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપ 15 સેમી અને 12 સેમી આપ્યાં છે.
∴ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો > ત્રીજી બાજુનું માપ છે.
∴ 12 સેમી + 15 સેમી > ત્રીજી બાજુનું માપ
∴ 27 સેમી > ત્રીજી બાજુનું માપ અર્થાત્ ત્રીજી બાજુનું માપ < 27 સેમી
આમ, ત્રીજી બાજુનું માપ 27 સેમી કરતાં ઓછું હોય.

(ii) આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો તફાવત એ ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં ઓછો હોય.
∴ બે બાજુઓનાં માપનો તફાવત < ત્રીજી બાજુનું માપ
∴ 15 સેમી – 12 સેમી < ત્રીજી બાજુનું માપ
∴ 3 સેમી < ત્રીજી બાજુનું માપ અર્થાત્ ત્રીજી બાજુનું માપ > 3 સેમી
આમ, ત્રીજી બાજુનું માપ 3 સેમી કરતાં વધારે હોય.
ટૂંકમાં, ત્રીજી બાજુનું માપ 3 સેમી અને 27 સેમીની વચ્ચેનું કોઈ પણ હોઈ શકે.