Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે, 5 અસંમેય છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √5 સંમેય સંખ્યા છે.
આથી આપણને પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો a અને b એવા મળે જેથી √5 = (frac{a}{b}) થાય. બંને બાજુનો વર્ગ કરતાં,
∴ 5 = (frac{a^{2}}{b^{2}})
∴ a² = 5 b²
આમ, 5 એ વનો અવયવ છે.
પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ છે a નો પણ અવયવ છે.
ધારો કે, a = 5c જ્યાં, તે કોઈ પૂર્ણાક છે.
∴ a² = 25 c²
∴ 25 c² = 5 b²
∴ b² = 5 c²
આમ, 5 એ bશ્નો અવયવ છે. પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ નો પણ અવયવ છે. આમ, a અને b નો સામાન્ય અવયવ 5 છે.
પરંતુ આ વિધાન એ વ અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
માટે આપણી ધારણા છે કે ‘√5 સંમેય સંખ્યા છે.’ તે ખોટી છે.
આથી સાબિત થાય છે કે √5 અસંમેય છે.

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે, 3+ 2√5 અસંમેય છે.
ઉત્તરઃ
∴ ધારો કે, 3 + 2√5 સંમેય છે.
∴ 3 + 2√5 = (frac{a}{b}) જ્યાં, a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે.
હવે, 3 + 2√5 = (frac{a}{b}) – 3
∴ 2√5 = (frac{a-3 b}{b})
∴ √5 = (frac{a-3 b}{2 b})
a અને b પૂર્ણાક હોવાથી (frac{a-3 b}{2 b}) એ સંમેય સંખ્યા છે અને
તેથી √5 પણ સંમેય સંખ્યા થાય.
પરંતુ √5 અસંમેય છે. આમ, વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે. માટે આપણી ધારણા ખોટી છે.
આમ, સાબિત થાય છે કે 3 + 2√5 અસંમેય છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ અસંમેય છે તેમ સાબિત કરો:
(i) (frac{1}{sqrt{2}})
(ii) 7 + √5
(iii) 6 + √2
ઉત્તરઃ
(i) ધારો કે, (frac{1}{sqrt{2}}) સંમેય છે.

∴ (frac{1}{sqrt{2}}) = (frac{a}{b})

જ્યાં, a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે.
∴ (frac{1}{2}=frac{a^{2}}{b^{2}})
∴ b² = 2a²
આમ, 2 એ bશ્નો અવયવ છે. પરંતુ 2 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 2 એ ‘નો પણ અવયવ છે.
ધારો કે, b = 2c જ્યાં, તે કોઈ પૂર્ણાક છે.
∴ b² = 4c²
∴ 4c² = 2a²
∴ a² = 2c²
આમ, 2 એ 42નો અવયવ છે.
પરંતુ 2 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 2 એ વનો પણ અવયવ છે.
આમ, 4 અને 5નો સામાન્ય અવયવ 2 મળે છે.
આથી વ અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી, માટે આપણી ધારણા ખોટી છે. આમ, સાબિત થાય છે કે (frac{1}{sqrt{2}}) અસંમેય છે.

(ii) ધારો કે, 7√5 સંમેય છે.
∴ 7√5 = (frac{a}{b})
જ્યાં, a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે.
∴ √5 = (frac{a}{7 b})
હવે, a, b અને 7 પૂર્ણાકો હોવાથી (frac{a}{7 b}) સંમેય સંખ્યા છે અને તેથી √5 પણ સંમેય સંખ્યા થાય.
પરંતુ 5 અસંમેય છે. આમ, વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે, માટે આપણી ધારણા ખોટી છે.
આમ, સાબિત થાય છે કે 7√5 અસંમેય છે.

(iii) ધારો કે, 6 + √2 સમય છે.
∴ 6 + √2 = (frac{a}{b})
જ્યાં, a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે.
∴ √2 = (frac{a}{b}) – 6
∴ 2 = (frac{a-6 b}{b})
હવે, a, b અને 6 પૂર્ણાકો હોવાથી (frac{a-6 b}{b}) સંમેય સંખ્યા થાય અને તેથી √2 પણ સંમેય સંખ્યા થાય. પરંતુ √2 અસંમેય છે.
આમ, વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે, માટે આપણી ધારણા ખોટી છે. આમ, સાબિત થાય છે કે 6 + √2 અસંમેય છે.