Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.2

પ્રશ્ન 1.
કિંમત શોધો :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

(iii) (frac{cos 45^{circ}}{sec 30^{circ}+operatorname{cosec} 30^{circ}})

(iv) (frac{sin 30^{circ}+tan 45^{circ}-operatorname{cosec} 60^{circ}}{sec 30^{circ}+cos 60^{circ}+cot 45^{circ}})

(v) (frac{5 cos ^{2} 60^{circ}+4 sec ^{2} 30^{circ}-tan ^{2} 45^{circ}}{sin ^{2} 30^{circ}+cos ^{2} 30^{circ}})

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
ઉત્તરઃ
= (frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2} times frac{1}{2})

= (frac{3}{4}+frac{1}{4}) = 1

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2(1)² + (left(frac{sqrt{3}}{2}right)^{2}-left(frac{sqrt{3}}{2}right)^{2})

= 2 + (frac{3}{4}-frac{3}{4}) = 2

(iii) (frac{cos 45^{circ}}{sec 30^{circ}+operatorname{cosec} 30^{circ}})
ઉત્તરઃ

= (frac{sqrt{3} times 2(sqrt{6}-sqrt{2})}{24-8})

= (frac{sqrt{3} times 2(sqrt{6}-sqrt{2})}{16})

= (frac{sqrt{18}-sqrt{6}}{8}) = (frac{3 sqrt{2}-sqrt{6}}{8})

(iv) (frac{sin 30^{circ}+tan 45^{circ}-operatorname{cosec} 60^{circ}}{sec 30^{circ}+cos 60^{circ}+cot 45^{circ}})
ઉત્તરઃ

(v) (frac{5 cos ^{2} 60^{circ}+4 sec ^{2} 30^{circ}-tan ^{2} 45^{circ}}{sin ^{2} 30^{circ}+cos ^{2} 30^{circ}})
ઉત્તરઃ
= (frac{5left(frac{1}{2}right)^{2}+4left(frac{2}{sqrt{3}}right)^{2}-(1)^{2}}{left(frac{1}{2}right)^{2}+left(frac{sqrt{3}}{2}right)^{2}})

= (frac{frac{5}{4}+frac{16}{3}-1}{frac{1}{4}+frac{3}{4}})

= (frac{left(frac{15+64-12}{12}right)}{1}=frac{67}{12})

પ્રશ્ન 2.
સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ

(i) (frac{2 tan 30^{circ}}{1+tan ^{2} 30^{circ}}) = ………..
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ઉત્તરઃ
(frac{2 tan 30^{circ}}{1+tan ^{2} 30^{circ}}) = (frac{2left(frac{1}{sqrt{3}}right)}{1+left(frac{1}{sqrt{3}}right)^{2}})

= (frac{2left(frac{1}{sqrt{3}}right)}{1+left(frac{1}{sqrt{3}}right)^{2}})

= (frac{6}{sqrt{3}(4)})

= (frac{2 times 3}{4 times sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{2})

= sin 60° આથી સાચો વિકલ્પ (A) sin 60° છે.

(ii) (frac{1-tan ^{2} 45^{circ}}{1+tan ^{2} 45^{circ}}) = ……..
(D) 0
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45
(D) 0
ઉત્તરઃ
(frac{1-tan ^{2} 45^{circ}}{1+tan ^{2} 45^{circ}}) = (frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}})

= (frac{0}{2}) = 0
આથી સાચો વિકલ્પ (D) 0 છે.

(iii) જ્યારે A = .. . હોય ત્યારે sin 2 = 2 sin A સત્ય હોય.
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45
(D) 60°
ઉત્તરઃ
A = 0° માટે, sin 2A = sin 0° = 0 અને
2 sin A = 2 × sin 0° = 2 × 0 = 0
∴ A = 0° માટે, sin 2A = 2 sin A A = 30° માટે, sin 2A = sin 60° = (frac{sqrt{3}}{2}) અને
2 sin A = 2 sin 30° = 2 × (frac{1}{2}) = 1
∴ A = 30° માટે, sin 2A ≠ 2 sin A
A = 45° માટે, sin 2A = sin 90° = 1
અને 2 sin A = 2 × sin 45° = 2 × (frac{1}{sqrt{2}}) = √2
∴ A માટે = 45°, sin 2A ≠ 2 sin A
A = 60° માટે, sin 2A = sin 120°
sin 120° આપણા હાલના અભ્યાસક્રમમાં નથી. આથી સાચો વિકલ્પ (A) 0° છે.

(iv) (frac{2 tan 30^{circ}}{1-tan ^{2} 30^{circ}}) = ………..
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ઉત્તરઃ
(frac{2 tan 30^{circ}}{1-tan ^{2} 30^{circ}}) = (frac{2left(frac{1}{sqrt{3}}right)}{1-left(frac{1}{sqrt{3}}right)^{2}})

= (frac{left(frac{2}{sqrt{3}}right)}{1-frac{1}{3}})

= (frac{2 times 3}{sqrt{3} times 2}) = √3
= tan 60° આથી સાચો વિકલ્પ (C) tan 60° છે.

પ્રશ્ન 3.
જો tan (A + B) = √3 અને tan (A – B) = (frac{1}{sqrt{3}}); 0° < A + B ≤ 90°; A > B, તો A અને B શોધો.
ઉત્તરઃ
tan (A + B) = √3
∴ tan (A + B) = tan 60°
∴ A + B = 60° ………..(1)
tan (A – B) = (frac{1}{sqrt{3}})
∴ tan (A – B) = tan 30°
∴ A – B = 30° ………..(2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, A = 45° અને B = 15° મળે.

પ્રશ્ન 4.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ

(i) sin (A + B) = sin A + sin B
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે sin (A + B) એ sin અને (A + B)નો ગુણાકાર નથી.
A = B = 30° લઈને આપણે સહેલાઈથી ચકાસી શકીએ.
A = B = 30° માટે, sin (A + B) = sin 60° = (frac{sqrt{3}}{2})
અને sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = (frac{1}{2}+frac{1}{2}) = 1

(ii) જેમ જેમ નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ sin નું મૂલ્ય વધે છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ જ છીએ કે જેમ જેમ નું મૂલ્ય 0થી વધીને 90° થાય તેમ તેમ sin 9નું મૂલ્ય 0થી વધીને 1 થાય છે.

(iii) જેમ જેમ નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ cos નું મૂલ્ય 3 વધે છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ જ છીએ કે જેમ જેમ નું મૂલ્ય 0થી વધીને 90° થાય છે તેમ તેમ cos θ નું મૂલ્ય 1થી ઘટીને 0 થાય છે.

(iv) θ ના દરેક મૂલ્ય માટે sin θ = cos θ થાય.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે 45° સિવાયના છે ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે sin θ = cos θ ન થાય. ફક્ત તે θ = 45° હોય તો જ sin 45° = cos 45 = (frac{1}{sqrt{2}}), મળે. sin 30° = (frac{1}{2}) અને cos 30° = (frac{sqrt{3}}{2}) છે તથા sin 60° = (frac{sqrt{3}}{2}) અને cos 60° = (frac{1}{2}) છે.

(v) A = 0° માટે cot A અવ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે sin 0° = 0 અને cos 0° = 1 પરથી cot 0° = (frac{cos 0^{circ}}{sin 0^{circ}}=frac{1}{0}) મળે અને 0 દ્વારા કોઈ પણ સંખ્યાનો ભાગાકાર અવ્યાખ્યાયિત છે.