Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 4 लक्ष Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 4 लक्ष Ex 4.1

प्रश्न 1.
निम्न को मानांक और अंतराल स्वरूप में प्रदर्शित कीजिए।
(1) 4 का 0.4 सामीप्य
(2) 2 का 0.02 सामीप्य
(3) 0 का 0.05 सामीप्य
(4) -1 का 0.001 सामीप्य
उत्तर :
(1) 4 का 0.4 सामीप्य : 4 और 0.4 सामीप्य को a का δ सामीप्य के साथ तुलना करने पर a = 4 और δ = 0.4 प्राप्त होगा।
मानांक स्वरूप : |x – a| < δ, a = 4 और δ = 0.4 रखने पर 4 का 0.4 सामीप्य =|x – 4| < 0.4
अंतराल स्वरूप में : (a – δ, a + δ), a = 4 और δ = 0.4 रखने पर
4 का 0.4 सामीप्य = (4 – 0.4, 4 + 0.4) = (3.6, 4.4)

(2) 2 का 0.02 सामीप्य : 2 का 0.02 सामीप्य को a का δ सामीप्य के साथ तुलना करने पर
a = 2 और δ = 0.02 प्राप्त होगा।
मानांक स्वरूप : |x – a| < δ, a = 2 और δ = 0.02 रखने पर
2 का 0.02 सामीप्य =|x – 2| < 0.02
अंतराल स्वरूप में : (a – δ, a + δ), a = 2 और δ = 0.02 रखने पर
2 का 0.02 सामीप्य = (2 – 0.02, 2 + 0.02) = (1.98, 2.02)

(3) 0 का 0.05 सामीप्य : 0 का 0.05 सामीप्य को a का δ सामीप्य के साथ तुलना करने पर
a = 0 और δ = 0.05 प्राप्त होगा।
मानांक स्वरूप : |x – a| < δ, a = 0 और δ = 0.05 रखने पर
0 का 0.05 सामीप्य = |x – 0| < 0.05
अंतराल स्वरूप में : (a – δ, a + δ), a = 0 और 8 = 0.05 रखने पर
0 का 0.05 सामीप्य = (0 – 0.05,0 + 05) = (-0.05, 0.05)

(4) -1 का 0.001 सामीप्य : -1 का 0.001 सामीप्य को a का δ सामीप्य के साथ तुलना करने पर
a = -1 और δ = 0.001 प्राप्त होगा।
मानांक स्वरूप: |x – a| < δ , a = -1 और δ = 0.001 रखने पर
-1 का 0.001 सामीप्य = |x – (-1)| < 0.001 = |x + 1|< 0.001
अंतराल स्वरूप में : (a – δ, a + δ), a=-1 और δ = 0.001 रखने पर
-1 का 0.001 सामीप्य = (-1 -0.001, -1 + 0.001)= (-1.001, -0.999)

प्रश्न 2.
निम्न को अंतराल और सामीप्य स्वरूप में प्रदर्शित कीजिए।
(1) |x – 2| < 0.01
(2) |x + 5| < 0.1
(3) |x| < (frac {1}{3})
(4) |x + 3| < 0.15
उत्तर :
(1) x – 2|< 0.01 को अंतराल और सामीप्य स्वरूप में दर्शाने के लिए मानांक स्वरूप |x – a| < δ के साथ तुलना करने पर a = 2 और
8 = 0.01 प्राप्त होगा।
सामीप्य स्वरूप : N (a, δ) a = 2 और δ = 0.01 रखने पर |x – 2| < 0.01 = N(2, 0.01)
अंतराल स्वरूप में (a – δ, a + δ) a = 2 और δ = 0.01 रखने पर |x – 2| < 0.01 = (2-0.01, 2 + 0.01) = (1.99, 2.01)

(2) |x + 5|< 0.1 को अंतराल और सामीप्य स्वरूप में दर्शाने के लिए मानांक स्वरूप |x – a|< δ के साथ तुलना करने पर a = -5 और
δ = 0.1 प्राप्त होगा।
सामीप्य स्वरूप : N(a, δ) a = -5 और δ = 0.1 रखने पर |x + 5| < 0.1 = N(-5, 0.1)
अंतराल स्वरूप में (a – δ, a + δ) = (-5 -0.1, -5 + 0.1) =(-5.1, -4.9)

(3) |x| < (frac {1}{3}) को अंतराल और सामीप्य स्वरूप में दर्शाने के लिए मानांक स्वरूप |x – a|< δ के साथ तुलना करने पर a = 0 और δ = (frac {1}{3}) प्राप्त होगा।
सामीप्य स्वरूप : N(a, δ) a = 0 और δ = (frac {1}{3}) रखने पर |x| < (frac {1}{3}) = N(0, (frac {1}{3}) )
अंतराल स्वरूप में (a – δ, a + δ) = (0 – (frac {1}{3}), 0 + (frac {1}{3})) = (-(frac {1}{3}), (frac {1}{3}))

(4) |x + 3| < 0.15 को अंतराल और सामीप्य स्वरूप में दर्शाने के लिए मानांक स्वरूप |x – a|< δ के साथ तुलना करने पर a = -3 और δ = 0.15 प्राप्त होगा।
सामीप्य स्वरूप : N(a, δ ) a = -3 और δ = 0.15 रखने पर |x + 3| < 0.15 = N(-3, 0.15)
अंतराल स्वरूप में (a – δ, a + δ) =(-3 – 0.15, -3 + 0.15) = (-3.15, -2.85)

प्रश्न 3.
निम्न को मानांक और सामीप्य स्वरूप में प्रदर्शित कीजिए।
(1) 3.8 < x < 4.8
(2) 1.95 < x < 2.05
(3) -0.4 < x < 1.4
(4) 1.998 < x < 2.002
उत्तरः
(1) 3.8 < x < 4.8 को (δ – 6, δ + 6) के साथ तुलना करने पर a – δ = 3.8, a + δ = 4.8 प्राप्त होगा।
a – δ = 3.8 और a + δ = 4.8 का योग करने पर

मानांक स्वरूप में : |x – a| < δ a = 4.3 और δ = 0.5 रखने पर |x – 4.3| < 0.5
सामीप्य स्वरूप में : N(a, δ) a = 4.3 और δ = 0.5 रखने पर (3.8, 4.8) = N(4.3, 0.5)

(2) 1.95 < x < 2.05 को (δ – 6, δ + 8) के साथ तुलना करने पर a – δ = 1.95, a + δ = 2.05 प्राप्त होगा।
a – δ = 1.95 और a + δ = 2.05 का योग करने पर

मानांक स्वरूप में : |x – a| < δ, a = 2 और δ = 0.05 रखने पर |x – 2| < 0.05
सामीप्य स्वरूप में : N(a, δ), a = 2 और δ = 0.05 रखने पर (1.95, 2.05) = N(2, 0.05)

(3) -0.4< x < 1.4 को (a – δ, a + δ) के साथ तुलना करने पर a – δ = -0.4, a + δ = 1.4 प्राप्त होगा।
a – δ = -0.4 और a + δ = 1.4 का योग करने पर

मानांक स्वरूप में : |x – a| < δ, a = 0.5 और δ = 0.9 रखने पर |x – 0.5| < 0.9
सामीप्य स्वरूप में : N(a, δ), a = 0.5 और δ = 0.9 रखने पर (-0.4, 1.4) = N (0.5, 0.9)

(4) 1.998 < x < 2.002 को (a – δ, a + δ) के साथ तुलना करने पर a – δ = 1.998 और a + δ = 2.002 प्राप्त होगा।
a – δ = 1.998 और a + δ = 2.002 का योग करने पर

मानांक स्वरूप में : |x < a| < δ, a = 2 और δ = 0.002 रखने पर |x < 2| < 0.002
सामीप्य स्वरूप में : N(a, δ), a = 2 और δ = 0.002 रखने पर (1.998, 2.002) = N (2, 0.002)

प्रश्न 4.
N(16.05) को अंतराल और मानांक स्वरूप में दर्शाइये।
उत्तर :
सामीप्य स्वरूप में : N(a, δ) के साथ तुलना करने पर a = 16, δ = 05
अंतराल स्वरूप में (a – δ, a + δ), a = 16 और δ = 0.5 रखने पर = (16 – 0.5, 16 + 0.5) = (15.5, 16.5)
मानांक स्वरूप में : |x -a| < δ = |x – 16|< 0.5

प्रश्न 5.
यदि N (3 ,b) = (2.95;k) हो, तो b और k का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
N (3, b) को N(a, δ) के साथ तुलना करने पर a = 3 और δ = b प्राप्त होगा।
अंतराल स्वरूप में_{a – δ}और_{a + δ} के साथ तुलना करने पर a – δ = 295 a + δ = k
a – δ = 29 में a = 3 रखने पर a + δ = k में a = 3 और δ = 0.05 रखने पर 3 + 0.05 = k ∴ k = 3.05
3 – δ = 2.95
∴ -δ = 25 – 3
∴ -δ = -0.05
∴ δ = 0.05
∴ δ = b = 0.05
∴ b = 0.05,
∴ b = 0.05 और k=3.05 प्राप्त होगा।

प्रश्न 6.
यदि |x – 10| < k₁ = (k₂, 10.01) हो, तो k₁ और k₂ का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
|x -10|< k₁ को |x – a| < δ के साथ तुलना करने पर a= 10 और δ = k₁
(k₂, 10.01) को (a – δ, a + δ) के साथ तुलना करने पर a – δ = k₂ और a + δ = 10.01, a + δ = 10.01 में a = 10 रखने पर
10 + δ = 10.01 δ = 0.01
δ = 10.01 – 10 δ = k₁ = 0.01 k₁ = 0.01
a – δ = k₂ में a = 10 और δ = 0.01 रखने पर 10 – 0.01 = k₂ k₂ = 9.99
∴ k₁ = 0.01 और k₂ = 9.99 प्राप्त होगा।