Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.2

પ્રશ્ન 1.
નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો:
(1) 140
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

આમ, 140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5 × 7.

(2) 156
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

આમ, 156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × ૩× 13

(3) 3825
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

આમ, 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5 × 17

(4) 5005
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

આમ, 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(5) 7429
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

આમ, 7429 = 17 × 1923

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ પૂર્ણાકોની જોડીના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો અને ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર થાય છે તેમ ચકાસોઃ
(1) 26 અને 21
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

∴ 26 = 2 × 13 અને 91 = 7 × 13
હવે, લ.સા.અ. (26, 91) = 2 × 7 × 11 = 182 અને ગુ.સા.અ. (26, 91) = 13
હવે, લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. = 182 × 18 = 2366
અને 26 × 91 = 2366.
આમ, ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર

(2) 510 અને 92
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

∴ 510 = 2 × 3 × 5 × 17 અને
92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23
હવે,
લ.સા.અ. 510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 23
= 23,460
અને ગુ.સા.અ. (510, 92) = 2
હવે, લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. = 23,460 × 2 = 46,920
અને 510 × 92 = 46,920
આમ, ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર.

ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

∴ 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
= 2⁴ × 3 × 7 અને
54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³
હવે, લ.સા.અ. (336, 54) = 2⁴ × 3 × 7 = 3024
અને ગુ.સા.અ. (336, 54) = 2 × 3 = 6
હવે, લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. = 3024 × 6 = 18,144
અને 336 × 54 = 18,144.
આમ, ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલ પૂર્ણાકોના અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધોઃ
(1) 12, 15 અને 21
ઉત્તરઃ
(1) અવયવ વૃક્ષની રીતે,

∴ 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3, 15 = 3 × 5 અને
21 = 3 × 7
હવે,
લ.સા.અ. (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
અને ગુ.સા.અ. (12, 15, 21) = 3.

(2) 17, 23 અને 29
ઉત્તરઃ
આપેલ દરેક સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,
17 = 17 × 1, 23 = 23 × 1 અને 29 = 29 × 1.
હવે, લ.સા.અ. (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29
= 11,339
અને ગુ.સા.અ. (17, 23, 29) = 1.

(3) 8, 9 અને 25
ઉત્તરઃ
અવયવ વૃક્ષની રીતે,

∴ 8 = 2 × 2 × 2 = 2³, 9 = 3 × 3 = 3²
અને 25 = 5 × 5 = 5²
હવે, લ.સા.અ. (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5² = 1800
અને ગુ.સા.અ. (8, 9, 25) = 1.

પ્રશ્ન 4.
જો ગુ.સા.અ. (306, 657) = 9 આપેલ હોય, તો લ.સા.અ. (306, 657) શોધો.
ઉત્તરઃ

a = 306 અને b = 657 લેતાં,

= (frac{306 times 657}{9})
= 34 × 657
= 22,338
આમ, લ.સા.અ. (306, 657) = 22,338

પ્રશ્ન 5.
કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 માટે 6નો અંતિમ અંક શૂન્ય થાય કે નહીં તે ચકાસો.
ઉત્તરઃ
જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક 0 હોય, તો તે સંખ્યા 5 તેમજ 2 બંને વડે વિભાજ્ય હોય. એટલે કે, અંતિમ અંક 0 હોય તેવી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 તેમજ 2 બંનેનો સમાવેશ થાય.

હવે, 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ, જ્યાં તે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. આમ, 6ⁿને 2 અને 3 એમ ફક્ત બે જ અવિભાજ્ય અવયવો છે. આમ, 6ⁿના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 માટે 6ⁿનો અંતિમ અંક 0 ન જ થાય.

પ્રશ્ન 6.
સમજાવો કે, 7 × 11 × 13 + 13 અને 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + ડ એ શા માટે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે?
ઉત્તરઃ
7 × 11 × 13 + 13 = 13(7 × 11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 (78)
= 13 × 2 × 3 × 13. (∵ 78 = 2 × 3 × 13).
= 2 × 3 × 13²
આમ, 7 × 11 × 13 + 13ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આથી 7 × 11 × 13 + 13 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 x 1 + 5
= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 (1008 + 1)
= 5 × 1009
આમ, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આથી 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 એ વિભાજ્ય
સંખ્યા છે.

પ્રશ્ન 7.
એક રમતના મેદાનમાં વર્તુળાકાર માર્ગ છે. સોનિયાને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં 18 મિનિટ લાગે છે, જ્યારે રવિને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં 12 મિનિટ લાગે છે. ધારો કે બંને એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી, એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું પ્રારંભ કરે છે, તો કેટલી મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, સોનિયાને અને રવિને એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં લાગતા સમય(મિનિટમાં)નો લ.સા.અ. એ આપેલ પ્રશ્નનો જવાબ થાય.
હવે, 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3 અને
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
માટે, લ.સા.અ. (12, 18) = 2² × 3² = 36
આથી જો સોનિયા અને રવિ એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી, એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું પ્રારંભ કરે, તો 36 મિનિટ, બાદ બંને ફરી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થાય.