Gujarat Board GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 7 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Ex 6.5

1. ΔPQRમાં ∠P કાટખૂણો છે. જો PQ = 10 સેમી અને PR = 24 સેમી હોય, તો QR શોધો.
ઉત્તરઃ

ΔPQRમાં ∠P કાટખૂણો છે.
∴ QR એ કર્ણ છે.
∴ QR² = PR² + PQ²
∴ QR² = 24² + 10²
∴ QR² = 576 + 100
∴ QR² = 676
∴ QR² = 26²
∴ QR = 26
આમ, QR = 26 સેમી

2. ΔABCમાં ∠C કાટખૂણો છે. જો AB = 25 સેમી અને AC = 7 સેમી, તો BC શોધો.
ઉત્તરઃ

ΔABCમાં ∠C કાટખૂણો છે.
(overline{mathrm{AB}}) એ કર્ણ છે.
∴ AB² = AC² + CB²
∴ 25² = 7² + x²
∴ 625 = 49 + x²
x² = 625 – 49
∴ x² = 576
∴ x² = 24²
∴ x = 24
આમ, BC = 24 સેમી

3. 15 મીટર લાંબી નિસરણીને દીવાલ સાથે ટેકવતાં તે જમીનથી 12 મીટર ઊંચી બારી સુધી પહોંચે છે. નિસરણીના જમીન પરના છેડાનું દીવાલથી અંતર a શોધો.

ઉત્તરઃ
અહીં નિસરણી દીવાલ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
∴ (કર્ણ)² = (એક બાજુ)² + (બીજી બાજુ)²
∴ (15)² = (12)² + (a)²
∴ 225 = 144 + a²
a² = 225 – 144
∴ a² = 81
∴ a² = 9²
∴ a = 9 મીટર
નિસરણીના જમીન પરના છેડાનું દીવાલથી અંતર a = 9 મીટર હોય.

4. નીચેનામાંથી કઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે?
(i) 2.5 સેમી, 6.5 સેમી, 6 સેમી
(ii) 2 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી
(iii) 1.5 સેમી, 2 સેમી, 2.5 સેમી
જો કાટકોણ ત્રિકોણ હોય, તો ક્યો ખૂણો કાટકોણ છે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
(i) 2.5 સેમી, 6.5 સેમી, 6 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 6.5 સેમી છે.
હવે, (2.5)² + (6)² = 6.25 + 36
= 42.25 = (6.5)²
∴ આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે.
સૌથી મોટી બાજુ 6.5 સેમી એ કર્ણ છે.
2.5 સેમી અને 6 સેમી બાજુઓની વચ્ચેનો ખૂણો એ કાટકોણ હોય.

(ii) 2 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 5 સેમી છે.
હવે, (2)² + (2)² = 4 + 4
= 8 અને 8 ≠ 5²
∴ આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ ન હોઈ શકે.

(iii) 1.5 સેમી, 2 સેમી, 2.5 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 2.5 સેમી છે.
હવે, (1.5)² + (2)² = 2.25 + 4
= 6.25 = (2.5)²
∴ આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે.
સૌથી મોટી બાજુ 2.5 સેમી એ કર્ણ છે.
1.5 સેમી અને 2 સેમી બાજુઓની વચ્ચેનો ખૂણો એ કાટકોણ હોય.

5. એક ઝાડ જમીન પરથી 5 મીટર ઊંચાઈએથી તૂટી પડે છે અને તેની ટોચ ઝાડના થડથી 12 મીટર અંતરે જમીનને અડે છે. ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ઝાડ AB છે. જે C બિંદુથી તૂટી પડે છે અને જમીનને અડકે છે.
જેથી ΔABC કાટકોણ ત્રિકોણ બની જાય છે.
અહીં કાટકોણ ત્રિકોણ માટે AB = 12 મીટર
અને BC = 5 મીટર છે.

∴ AC² = AB² + BC²
= 12² + 5²
= 144 + 25
= 169 = 13²
∴ AC = 13 મીટર
ઝાડની ઊંચાઈ = BC + AC = 5 મીટર + 13 મીટર = 18 મીટર
આમ, ઝાડની ઊંચાઈ 18 મીટર હોય.

6. ΔPQRમાં ∠Q અને ∠R અનુક્રમે 25° અને 65° છે. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે તે લખો:

(i) PQ² + QR² = RP²
(ii) PQ² + RP² = QR²
(ii) RP² + QR² = PQ²
ઉત્તરઃ
ΔPQRમાં m∠P + m∠Q + m∠R = 180°
m∠P + 25° + 65° = 180°
m∠P + 90° = 180°
m∠P = 180° – 90°
m∠P = 90°
આમ, ΔPQR એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. જેમાં ∠P કાટકોણ છે.
ΔPQRમાં ∠P કાટકોણ છે તેથી તેની સામેની બાજુ કર્ણ હોય.
∴ (overline{mathrm{QR}}) એ કર્ણ છે.
આમ, QR² = PQ² + RP²
∴ આપેલા ત્રિકોણ માટે (ii)માં આપેલ સંબંધ સાચો છે.

7. જેની બાજુની લંબાઈ 40 સેમી અને વિકર્ણની લંબાઈ 41 સેમી હોય, તેવા લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો.
ઉત્તરઃ
☐ ABCD એ લંબચોરસ છે. (overline{mathrm{BD}}) વિકર્ણ છે.
∴ ΔABD એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

BD² = AB² + AD²
∴ (41)² = (40)² + AD²
∴ 1681 = 1600 + AD²
∴ AD2 = 1681 – 1600
∴ AD² = 81
∴ AD² = 9²
∴ AD = 9 સેમી
લંબચોરસની પહોળાઈ 9 સેમી છે.
∴ લંબચોરસની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ + પહોળાઈ)
= 2(40 + 9) સેમી
= 2(49) સેમી = 98 સેમી
આમ, લંબચોરસની પરિમિતિ 98 સેમી છે.

8. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોનાં માપ 16 સેમી અને 30 સેમી છે, તેની પરિમિતિ શોધો.
ઉત્તરઃ

અહીં સમબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD આપ્યો છે.
જેના વિકર્ણો (overline{mathrm{AC}}) અને (overline{mathrm{BD}}) છે.
AC = 30 સેમી અને BD = 16 સેમી છે.
હવે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકણોં પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
અહીં વિકર્ણોનું છેદબિંદુ O છે.
∴ m ∠AOB = m ∠BOC = m ∠COD = m ∠DOA = 90°
વળી, OA = OC = (frac {1}{2})AC = (frac {1}{2}) × 30 = 15 સેમી
અને BO = OD = (frac {1}{2})BD = (frac {1}{2}) × 16 = 8 સેમી
હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ AOBમાં
AB² = AO² + BO² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289
∴ AB² = 17²
∴ AB = 17
અહીં ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેથી તેની બધી બાજુઓનાં માપ સરખાં હોય.
∴ સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ = 4(બાજુનું માપ) = 4(17) = 68 સેમી
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ 68 સેમી છે.